32.Определение расстояния от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки до этой плоскости можно вычислить по формуле .
Математически верная формулировка
(где --- расстояние от точки с координатами до плоскости ).
Доказательство. Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость (рис. 11.9).
Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости
Вектор и нормальный вектор n плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому
Откуда
| (11.8) |
Координаты точки , которые нам неизвестны, обозначим . Тогда . Так как , то . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим
| (11.9) |
Точка лежит на плоскости , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда находим, что .Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим . Так как , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).
- 1) Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций.
- 2) Определение производной, её геометрический и физический смысл. Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.
- 3) Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- 4) Правила Дифференцирования.
- Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции.
- 7) Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке .
- 8) Экстремум функции
- Достаточное условие экстремума функции.
- 10) Теорема Вейерштрасса
- 11) Асимптоты (вертикальные, наклонные)графика функции, вывод правила их нахождения.
- 12) Определение комплексных чисел.
- 13) Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.
- 14) Геометрическая интерпретация комплексного числа
- 16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа
- Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операций сложения и умножения многочленов.
- Деление многочленов с остатком.
- 19) Значение многочлена. Корень многочлена. Теорема Безу и её важнейшее следствие.
- 21.Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
- 22.Обобщенная теорема Виета для многочленов n-ой степени
- 23.Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Угол между векторами.
- 26.Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства.
- 27.Различные виды уравнения плоскости
- 28.Определение угла между плоскостями. Формула вычисления кос угла между плоскостями с выводом
- 29.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- 30.Взаимное расположение прямой и плоскости
- 31.Вычисление координат точки пересечения прямой с плоскостью
- 32.Определение расстояния от точки до плоскости
- 33.Уравнение сферы…