Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число. И курить бессмысленно. … Так, кто тут улыбается? Видимо, действительно не помогло.

Комплексным числом   называется число вида  , где   и   – действительные числа,   – так называемая мнимая единица. Число   называется действительной частью ( )комплексного числа  , число   называется мнимой частью ( ) комплексного числа  .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:   или переставить мнимую единицу:   – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости: Как упоминалось выше, буквой   принято обозначать множество действительных чисел.Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой  . Поэтому на чертеже следует поставить букву  , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:  – действительная ось  – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу   по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и  .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа: ,  ,  ,  ,  ,  ,  , 

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии. Рассмотрим следующие комплексные числа:  ,  ,  . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось   обозначает в точности множество действительных чисел  , то есть на оси  сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел   является подмножеством множества комплексных чисел  .

Числа  ,  ,   – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа  ,  ,   – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси  .

В числах  ,  ,  ,   и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому-что они сливаются с осями.