2) Определение производной, её геометрический и физический смысл. Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция   Производной функции называется такое число   , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h), если   существует.

Определение через предел:

Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Если функция   имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейно йфункцией

Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Физический смысл производной. Скорость изменения функции

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) =s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражаетмгновенное ускорение в момент времени t0.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Вы ведем уравнение касательной.

Y= kx+b

k=tgA(альфа) k=tgA=f'(x0)

Смотрим на картинку.

(x0;f(x0))-принадлежит прямой

f(x0)=f'(x0)x0+b =>b=f(x0)-f'(x0)x0

Таким образом...

y=f'(x0)x+f(x0)-f'(x0)x0

y=f'(x0)+f'(x0)(x-x0) – уравнение касательной к графику f(x) в точке x.