Свертка функций

Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:

. (1.22)

Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде

с параметрами

, ;

, ;

, .

При замене использовано

.

Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.

Свертка с постоянной

,

.

Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов

f₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.

Этим принципам удовлетворяет свертка

,

где

–функция Грина – реакция преобразователя на импульсный входящий сигнал;

–функция включения;

–аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.