Лекции_по_ДМ

Подгруппы

Непустое подмножество Н элементов группы G называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в G.

Из этого определения следует, что для любых элементов a, bH результат действия (a _ b) также принадлежит Н, нейтральный элемент eH является также нейтральным и в группе G. И, в силу единственности обратного элемента в группе, ясно, что обратный элемент для любого элемента h из Н будет обратным для h также во всей группе G.

(О подгруппе) Непустое подмножество Н группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда 1) для любых элементов a, bH результат действия (a _ b) также принадлежит Н; и 2) для любого элемента hН обратный элемент h^–1 также принадлежит Н.

Доказательство. Необходимость следует из определения подгруппы.

Для доказательства достаточности покажем, что нейтральный элемент группы принадлежит подмножеству Н, т.е. еН. Т.к. по пункту 2 для любого элемента аН  а^‑1Н, то по пункту 1 результат (а_а^‑1)Н, но (а_а^‑1) =е – нейтральный элемент группы. Таким образом, еН, что и требовалось доказать. И, следовательно, Н – подгруппа G. (Ассоциативность действия переходит автоматически с G на Н).

Примеры подгрупп:

1) Аддитивная группа четных чисел является подгруппой группы ( ℤ , + ) целых чисел по сложению, последняя в свою очередь является подгруппой группы ( ℚ , + ) рациональных чисел по сложению, которая в свою очередь является подгруппой группы ( ℝ , + ) вещественных чисел по сложению. Все аддитивные группы чисел являются подгруппами группы комплексных чисел по сложению.

2) Мультипликативная группа ( ℝ ^>0,  ) положительных вещественных чисел по умножению является подгруппой мультипликативной группы ( ℝ \ {0}, ) вещественных чисел без нуля и не является подгруппой ( ℝ ,+ ), т.к. у них разные нейтральные элементы.

3) Подмножество {e} является подгруппой любой группы. Сама группа также является одной из своих подгрупп.

4) Пересечение любого числа подгрупп группы G является подгруппой группы G.

5) Множество поворотов правильного n‑угольника вокруг центра на угол , где k=0,1,2,…– является подгруппой группы подстановок S_n и называется группой самосовмещений.

Содержание