Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.

Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластинывыражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью  для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. 

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

25. Содержание

    • Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
    • Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
    • Сложные функции и их дифференцирование.
    • Неявные функции и их дифференцирование.
    • Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
    • Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
    • Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
    • Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
    • Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
    • Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
    • Интегрирование тригонометрических функций
    • Интегрирование дробно-рациональных функций.
    • Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
    • Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
    • Интегрирование гиперболических функций
    • Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
    • Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
    • Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
    • Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
    • Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
    • Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
    • Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
    • Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
    • Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.