logo search
Линал 2 семестр

Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.

Линейный оператор, называется самосопряженным, A = A*. В унитарном – эрмитовый, в евклидовом – симметрический. Квадратная матрица эрмитова, если A = AH, а вественная симметрическая или вещественно-эрмитова.

  1. Самосопряженный оператор нормален

  2. Оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу.

  3. Определитель самосопряженного оператора вещественен

  4. Если пространство инвариантно относительно самосопряженного оператора, то ортогональное его дополнение также инвариантно относительно него

  5. Самосопряженный оператор на любом инвариантном подпространстве индуцирует самосопряженный оператор

Т Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны (необходимость: для унитарного пространства это следует из того, что у сопряжения нормального оператора собственные значения являются сопряжением собственных значений исходного, а для евклидового пространства рассмотрим аналогичный оператор в комплексном и для него значения совпадут, достаточность: оператор нормален – есть базис собственных значений, по свойству линейного оператора Ax = (Add k= 1 to n)xiliei, A*x = Add(k = 1, n) xi!liei = Add(k=1, n)xiliei, A*= A).

Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется косоэрмитовым (кососимметрическим), если A* = - A, квадратная матрица A = -AH.

  1. косоэрмитов (кососимметрический) оператор нормален

  2. оператор косоэрмитов тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе косоэрмитова

  3. все собственные значения косоэрмитого оператора в унитарном пространстве – чисто мнимые (Ax = lx, -Ax=!lx, l = -!l), корни косоэрмитова и кососимметрического операторов – чисто мнимые

  4. кососимметрический оператор не имеет собственных значений.

Т Для любого косоэрмитова оператора в унитарном пространстве существует эрмитов оператор такой, что A = iB (оператор нормален – есть базис собственных векторов, lk = ibk, Aek = ibkek, Bek = bkek).

Т Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пр-ве может быть единственным образом представлен в виде суммы эрмитова (симметрического) и косоэрмитова (коссиметрического) операторов. ( B = ½(A + A*) C = 1/2 (A – A*), B* = B, C*=C, для единственности рассмотреть выражение для сопряженного оператора). Можно записать С = iD.

Т Линейный оператор нормален тогда и только тогда, когда операторы в его эрмитовом разложении перестановочны (расписать A = B + C, A* =B – C, AA* = B^2 – BC + CB - C^2, A*A = B^2 –CB +BC – C^2).

Билет 36. Симметрические операторы и симметрические матрицы.

то же, что в 35.

Билет 37. Унитарные операторы и унитарные матрицы.

Слово унитарный в вещественном пространстве нужно заменить на ортогональный.

Линейный оператор называется унитарным, если U*U = UU* = I

  1. Оператор унитарен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет унитарную матрицу.

  2. Для унитарного оператора верно, что обратный оператор совпадает с сопряженным и модуль определителя равен 1.

  3. Унитарный оператор нормален

Линейный оператор называется изометричным, если (Ux, Uy) = (x, y)

Т В конечномерном пространстве следующие утверждения равносильны

1) Оператор унитарен

2) U*U=I

3) UU* = I

4) Оператор изометричен

5) Оператор сохраняет длину |Ux| = |x|

6) Оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис

7) Оператор переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис

1) -2)-3) элементарно, 1-4 (Ux, Uy)=(x, U*Uy) = (x, y) 4-1 (x, U*Uy) = (Ux, Uy) = (x, y) по первой ТБ32, 4 – 5 |Ux| = sqr(Ux, Ux)=sqr(x,x) 5) (x,y) = (|x + y|^2 – |x-y|^2 + i|x +iy|^2 – i|x-iy|^2)/4 4-6 (Ue1, Ue2) = (e1, e2) 6-4 расписать скалярное произведение 6-7 очевидно 7-6 как в 6-4

Следствие: Унитарный оператор на любом инвариантном подпространстве индуцирует унитарный оператор, так как сохраняет скалярное произведение.

Т Если подпространство инвариантно относительно унитарного оператора, то его ортогональное дополнение так же инвариантно относительно него (для любого вектора из подпространства, в силу того. что индуцированный оператор унитарен, значит обратим, имеется разложение вида x = Ux1, (x, Uy) = (Ux, Uy) = (x,y), те если y ортогонален x, то его образ тоже ортогонален).

Т Нормальный оператор унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны 1

Необходимость: (Ux, Ux) = (lx,lx)=l^2(x,x), (Ux, Ux)=(x,x)

Достаточность: только в унитарном существует ортонормированный базис собственных векторов, тогда для любого x Ux= (Add k = 1, n)xiliei, |li| = 1, (x, x) = Add(k = 1, n) xk^2 = (Ux, Ux)

Т В пространстве существует базис, в котором матрица унитарного оператора имеет диагональную форму, с 1 или -1 на диагонали (каноническая форма).