21.Мішаний добуток векторів та його властивості

Змішаний добуток трьох векторів.Трійкою векторів називаються три вектори, якщо вказано, який з них вважається першим, який другим і який третім. Трійку векторів записують за порядком нумерації; наприклад, запис a, b, c означає, що вектор a вважається першим, вектор b – другим, с – третім.Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правою, якщо вектори, що її утворюють, після приведення до загального початку, розташовуються у порядку нумерації аналогічно до того, як розташовуються великий, вказівний та середній пальці правої руки.

Якщо вектори a, b, c розташовані аналогічно до того, як розташовані великий, вказівний та середній пальці лівої руки, то трійка цих векторів називається лівою.

Змішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку [ab], помноженому скалярно на вектор c, тобто [ab]c.

Справджується тотожність: [ab]c=a[bc]; зважаючи на це для позначення змішаного добутку [ab]c використовується простіший символ: abc. Таким чином, abc=[ab]c, abc=a[bc].

Змішаний добуток abc дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, взятому зі знаком плюс, якщо трійка abc права, зі знаком мінус, якщо ця трійка ліва. Якщо вектори a, b, c компланарні (і тільки в цьому випадку), змішаний добуток abc дорівнює нулю; іншими словами, рівність abc=0 є необхідною і достатньою умовою компланарності векторів a, b, c.

Якщо вектори a, b, c задані своїми координатами a={X_1,Y_1,Z_1}, b={X_2,Y_2,Z_2}, c = {X_3,Y_3,Z_3}, то змішаний добуток abc визначається формулою [abc] = визначник |( X_1,Y_1,Z_1)( X_2,Y_2,Z_2) X_3,Y_3,Z_3|