Основные определения теории графов
Граф – математический объект, описываемый двумя множествами: G=( V, E ), где V – так называемое множество вершин, а E – множество дуг.
Элементами множества дуг являются упорядоченные пары вершин, т.е. E={ ( a, b): aV, bV }, т.о. множество Е является подмножеством декартова произведения VV. Порядок вершин в парах может и не учитываться, тогда элементы множества Е называют ребрами, а сам граф – неориентированным графом, в противном случае – ориентированным или Орграфом. В некоторых случаях рассматриваются так называемые смешанные графы, в них множество Е состоит из элементов обоих видов: дуг и ребер.
Обозначим вершины v1, v2, v3, , а ребра e1, e2, e3, . Вершины vi и vj, определяющие ребро ek, называются концевыми вершинами ребра ek=(vi, vj), а в случае орграфа – началом и концом дуги ek соответственно. Говорят также, что ребро ek (дуга) инцидентно вершинам vi, vj или, что вершины vi, vj инцидентны ребру (дуге) ek. Такие вершины называют смежными. Ребра называют смежными в случае, когда они имеют общую концевую вершину. Например, ek=(vi, vj) и em=(vi, vl) – смежные ребра.
В множестве ребер графа допускается более, чем одно ребро с одинаковыми концевыми вершинами. Такие ребра называются параллельными или кратными. Например: ek=(vi, vj) и em=(vi, vj) – кратные ребра.
Если обе концевые вершины ребра совпадают, то такое ребро называется петлей. Например: ek=(vi, vi) – петля.
Граф без петель и параллельных ребер называется простым, в противном случае – мультиграфом.
Граф, не имеющий ребер, называется пустым, а не имеющий вершин (а значит и ребер) – нуль‑графом.
Простой граф, у которого любая пара вершин смежна, называется полным.
Количество вершин в графе называется порядком графа.
Степенью или валентностью вершины называется число инцидентных ей ребер. Будем обозначать степень вершины vi – deg(vi). Вершина нулевой степени называется изолированной. Вершина степени 1 называется висячей, а ребро, инцидентное ей, называется висячим ребром. Заметим, что петля добавляет двойку к степени вершины.
- Часть I
- Введение в теорию множеств
- Понятие «множества»
- Способы задания множества
- Операции над множествами
- Свойства множественных операций
- Декартово (прямое) произведение множеств
- Некоторые свойства декартова произведения
- Соответствия между множествами
- Композиция двух соответствий
- Отображения и функции
- Операции над образами и прообразами отображений и их свойства
- Равномощность и мощность множеств
- Бинарные отношения
- Отношение эквивалентности
- Отношение упорядоченности
- Диаграммы Хассе
- Алгебраические действия общего типа
- Основные понятия
- Способы задания действий
- Свойства действий (операций)
- Простейшие алгебраические системы
- Подгруппы
- Конечные группы
- Циклические подгруппы
- Кольца, тела и поля
- Введение в теорию графов
- История и применение
- Основные определения теории графов
- Способы задания графов
- Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов
- Подграфы
- Операции над графами
- Маршруты, пути и циклы в графах
- Некоторые свойства маршрутов, путей и циклов
- Связность и компоненты графа
- Циклический и коциклический ранг графа
- Фундаментальные циклы и разрезы
- Специальные графы
- Эйлеровы графы
- Гамильтоновы графы
- Планарные графы
- Задачи и упражнения
- Список литературы
- Часть I
- 400131, Волгоград, просп. Им. В.И.Ленина, 28
- 400131, Волгоград, ул. Советская, 35