2.1.3 Логические функции двух переменных
Таблица 2.5 – Функции двух переменных
х1 | х2 | F 0 | F 1 | F 2 | F 3 | F 4 | F 5 | F 6 | F 7 | F 8 | F 9 | F 10 | F 11 | F 12 | F 13 | F 14 | F 15 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
обозн | 0 | | х1х2 | х1 | х2х1 | х2 | | | | | х2 | х2х1 | х1 | х1х2 | | 1 |
Наименования:
F0 = 0 – константа нуля;
F1 = х1 х2 конъюнкция (логическое умножение), может обозначаться х1 х2;
F2 = х1 х2 отрицание импликации (следования), может обозначаться х1 х2;
F3 = х1 тождественная функция первой переменной;
F4 = х2 х1 – отрицание обратной импликации;
F5 = х2 тождественная функция второй переменной;;
F6 = х1 х2 – сложение по модулю 2 (неравнозначность);
F7 = х1 х2 – дизъюнкция (логическое сложение);
F8 = х1 х2 – стрелка Пирса;
F9 = х1 х2 – эквиваленция, может обозначаться х1 х2, х1 х2;
F10 = х2 – отрицание (инверсия) х2, может обозначаться ;
F11 = х2 х1 – обратная импликация;
F12 = х1 – отрицание х1,
F13 = х1 х2 – импликация;
F14 = х1 х2 – штрих Шеффера;
F15 = 1 – константа единицы.
Определение: переменная называется фиктивной, если ее значение не влияет на значение функции.
Так для F3 - х2 фиктивная, для F5 - х1 фиктивная.
2.2 СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
2.2.1 Функции сохраняющие константу нуля
Определение: логическая функция, принимающая значение 0 на нулевых наборах аргументов, называется булевой функцией сохраняющей константу нуля:
F (0 , … , 0) = 0.
Таких функций существует (2 n - 1)
2
В таблице 2.6 они отмечены знаком +.
2.2.2 Функции сохраняющие константу единицы
Определение: логическая функция, принимающая значение 1 на единичных наборах аргументов, называется булевой функцией сохраняющей константу единицы:
F (1 , … , 1) = 1.
Таких функций существует (2 n - 1)
2
В таблице 2.6 они отмечены знаком +.
2.2.3 Самодвойственные булевые функции
Определение: логическая функция, принимающая противоположное значение на противоположных наборах аргументов, называется самодвойственной булевой функцией:
F (х1, … ,хn) = F ( х1, … , хn).
Таких функций существует 2 n
2
В таблице 2.6 они отмечены знаком +.
2.2.4 Линейные логические функции
Определение: логическая функция называется линейной, если ее можно представить в следующем виде:
F (х1, … ,хn) = a 0 a1 х1 a2 х2 . . . an хn.
Где ai 0, 1.
Таких функций существует
2 (n + 1) .
В таблице 2.6 они отмечены знаком +.
2.2.5 Монотонные логические функции
Определение: логическая функция F (х1, … ,хn) называется монотонной, если для любых двух наборов = (1, … ,n) и = (1, … ,n) таких, что , существует место неравенство F (1, … ,n) F (1, … ,n).
Двоичный набор не меньше , если для каждой пары ( i, i), где
i 1, n, справедливо i i. Так 11 00, 11 10.
Вместе с тем наборы 01 и 10 или 1011 и 0100 не сравниваются между собой при определении монотонности, т.к. для них не выполняется ни i i, ни i i.
В таблице 2.6 они отмечены знаком +.
Таблица 2.6 – Свойства логических функций
х1 | х2 | F 0 | F 1 | F 2 | F3 | F 4 | F5 | F 6 | F 7 | F 8 | F 9 | F 10 | F 11 | F 12 | F 13 | F 14 | F 15 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
обозн | 0 | | х1х2 | х1 | х2х1 | х2 | | | | | х2 | х2х1 | х1 | х1х2 | | 1 | |
сохр0 | + | + | + | + | + | + | + | + | | | | | | | | | |
сохр1 | | + | | + | | + | | + | | + | | + | | + | | + | |
самд | | | | + | | + | | | | | + | | + | | | | |
лин | + | | | + | | + | + | | | + | + | | + | | | + | |
мон | + | + | | + | | + | | + | | | | | | | | + |
- Дискретная математика
- 6.050102 “Компьютерная инженерия” содержание
- 1 Теория множеств 7
- 2 Математическая логика 15
- 3 Формальные теории 35
- 4 Теория графов 47
- 5 Элементы теории чисел 80
- 6 Теория алгоритмов 121
- Введение
- 1 Теория множеств
- 1.1 Множества и подмножества
- 1.1.1 Элементы множества
- 1.2 Аксиомы теории множеств
- 1.3 Способы задания множеств
- 1.4 Операции над множествами
- 1.5 Элементы алгебры множеств
- 1.5.1 Определение алгебры множеств
- 1.5.2 Основные законы алгебры множеств
- 1.5.3 Принцип двойственности
- 2 Математическая логика
- 2.1 Функции алгебры логики (булевые функции)
- 2.1.1 Способы задания булевых функций
- 2.1.2 Логические функции одной переменной
- 2.1.3 Логические функции двух переменных
- 2.2.6 Функционально полные системы булевых функций
- 2.3 Алгебра буля
- 2.3.1 Определение алгебры. Теорема Стоуна
- 2.3.2 Законы алгебры логики
- 2.3.3 Разложения функций по переменным
- 2.3.4 Приведение логических функций
- 2.3.5 Импликанты и имплициенты булевых функций
- 2.3.6 Методы минимизации логических функций
- 2.4 Алгебра жегалкина
- 2.4.1 Преобразование функций в алгебре Жегалкина
- 2.4.2 Переход от булевой алгебры к алгебре Жегалкина
- 3 Формальные теории
- 3.1 Основные принципы построения формальных теорий исчисления
- 3.2 Определение исчисления высказываний
- 3.2.1 Метатеоремы исчисления высказываний
- 3.2.2 Схемы исчисления высказываний
- 3.3 Исчисление предикатов
- 3.3.1 Определение формальной теории pl
- 3.3.2 Принцип резолюции в исчислении предикатов
- 3.3.3 Схемы доказательств в исчислении предикатов
- 4 Теория графов
- 4.1 История теории графов
- 4.2 Основные определения
- 4.3 Способы представления графов
- 4.3.1 Матрицей смежности
- 4.3.2 Матрицей инцидентности
- 4.4 Пути в графах
- 4.4.1 Задача о кратчайшем пути
- 4.4.2 Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути в графе
- 4.5 Транспортные сети
- 4.5.1 Потоки в транспортных сетях
- 4.5.2 Задача нахождения наибольшего потока в транспортной сети
- 4.5.3 Алгоритм Форда и Фалкерсона нахождения максимального потока транспортной сети
- 4.5.4 Транспортная задача
- 4.6 Обходы в графах
- 4.6.1 Эйлеровы графы
- 4.6.2 Алгоритм Флёри нахождения эйлерова цикла
- 4. Если получился цикл, но не ейлеров, то отбрасываем данную последнюю вершину и повторяем пункт 2.
- 4.6.3 Гамильтоновы циклы
- 4.6.4 Метод ветвей и границ.
- 4.6.5 Метод ветвей и границ в задаче о коммивояжёре
- 4.7 Деревья
- 4.7.1 Построение экономического дерева
- 4.7.2 Алгоритм Краскала
- 5 Элементы теории чисел
- 5.1 Модулярная арифметика
- 5.1.1 Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя
- 5.1.2 Вычисление обратных величин
- 5.1.3 Основные способы нахождения обратных величин
- 5.1.4 Китайская теорема об остатках
- 5.2 Кодирование
- 5.2.1 Оптимальное кодирование
- 5.3 Обнаружение и исправление ошибок
- 5.3.1 Общие понятия
- 5.3.2 Линейные групповые коды
- 5.3.2 Код Хэмминга
- 5.3.3 Циклические коды
- 5.3.4 Построение и декодирование конкретных циклических кодов
- 5.4 Сжатие информации
- 5.4.1 Исключение повторения строк в последующих строках
- 5.4.2 Алгоритм lzw
- 6 Теория алгоритмов
- 6.1. Основные понятия
- 6.1.1 Основные требования к алгоритмам
- 6.1.2 Блок–схемы алгоритмов
- 6.1.3 Представление данных
- 6.1.4 Виды алгоритмов
- 6.1.5 Правильность программ
- 6.1.6 Эффективность алгоритмов
- 6.1.7 Сходимость, сложность, надежность
- 6.2 Универсальные алгоритмы
- 6.2.1 Основные понятия
- 6.2.2 Машины Тьюринга
- 6.2.3 Рекурсивные функции
- 6.2.5 Тезис Черча-Тьюринга
- 6.2.6 Проблема самоприменимости
- 6.3 Языки и грамматики
- 6.3.1 Общие понятия
- 6.3.2 Формальные грамматики
- 6.3.3 Иерархия языков
- 6.4 Параллельные вычисления
- Рекомендованная литература