4.4.1 Задача о кратчайшем пути

Формулировка задачи:

В ориентированном взвешенном графе G = (X,U) найти кратчайший путь из начальной вершины s в конечную вершину t.

Считаем, что отсутствующие в графе дуги имеют вес равный ∞ (максимальное целое число).

Для графа с неотрицательными весами дуг, т.е. , один из алгоритмов нахождении кратчайшего пути предложил Е. Дейкстра в 1959г.

На каждой итерации этого алгоритма всякая вершина графа получает метку , которая может быть постоянной либо временной. В первом случае - вес кратчайшего -пути. Если метка - временная, то - вес кратчайшего - пути, проходящего только через вершины с постоянными метками. Временная метка является оценкой сверху для веса кратчайшего -пути, и став на некоторой итерации постоянной, она остаётся такой до конца работы алгоритма.

Кроме , с каждой вершиной графа , за исключением , связывается ещё одна метка - . На каждой итерации является номером вершины, предшествующей в - пути, имеющем минимальный вес среди всех - путей, проходящих через вершины получивших к данному моменту постоянные метки. После того, как вершина получила постоянную метку, с помощью меток легко указать последовательность вершин, составляющих кротчайший - путь.

Перед началом первой итерации алгоритма вершина имеет постоянную метку , а метки всех остальных вершин равны и эти метки временные. Общая итерация алгоритма состоит в следующем. Пусть - вершина, получившая постоянную метку на предыдущей итерации. Просматриваем все вершины , имеющие временные метки, с целью уменьшения этих меток. Метка вершины заменяется на , если оказалось, что . В этом случае говорим, что вершина получила свою метку из вершины , и полагаем . Если же , то метки и вершины не изменяются на данной итерации. Алгоритм заканчивает работу, когда метка становится постоянной. - вес кротчайшего - пути, который будем обозначать через . Этот путь определяется с помощью меток так: .

Будем считать, что граф задан матрицей весов либо списками смежности.