logo
Конспект лекций ДМ

1.4 Операции над множествами

Объединение

Объединением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Символически это можно записать так:

А В={ x x А V х В}

Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.

А В = {a, b, d, e, h}.

Аналогично определяется объединение произвольной (в том числе бесконечной) совокупности множеств.

Пересечение

Пересечением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В.

А В={ x x А & х В}

Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.

А В = {b, d,}.

Аналогично определяется пересечение произвольной (в том числе бесконечной) совокупности множеств.

Если D E = , то говорят, что множества D и E не пересекаются.

Разность

Разностью множеств А и В (обозначается А \ В или А В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В

А \ В = { x x А & х В }

Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.

А \ В = {a}.

В \ А = {e, h}.

Свойства операции разности:

1. В отличие от операций объединения и пересечения разность является строго двухместной операцией.

  1. Она некоммутативна, т.е. А \ В В \ А.

  2. Если А \ В = , то А В.

4.

5. Для разности справедлив закон дистрибутивности как относительно объединения, так и пересечения

Симметрическая разность

Симметрическая разность (записывается как А + В ) и определяется следующим образом:

А + В = (А \ В) (В \ А) = (А В) \ (А В) =

= { x (x А & х В) V (х A & х В )}

Например: А = {a, b, d}, B = {b, d, e, h}.

А + В = {a, e, h}.

Свойства симметрической разности:

  1. Симметрическая разность является строго бинарной операцией.

  2. Учитывая, что и , то:

  1. 3. Коммутативность

4. Ассоциативность

5.

  2. Дистрибутивность относительно операции пересечения

Дополнение множества

Если в некотором рассуждении или в рамках определенной ситуации все используемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называется универсальным множеством (или универсумом) для данного рассуждения.

Свойства универсума:

  1. Если X U, то X U = .

2. Если X U, то X U = U .

Дополнением (до универсума) множества Х (обозначают или X) называют множество всех элементов, не принадлежащих Х, но принадлежащих U.

= {x x X}.

Свойства дополнения:

1. .

  1. = .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. Если А = В, то .

  8. Если А В, то .

Множество всех подмножеств (булеан)

Множество всех подмножеств множества А обозначают ß(А) и называется булеаном данного множества A.

Т.е. по определению: ß(А) = {B | B  A}.

Ясно, что ß(А) содержит как пустое множество Ø, так и само множество A.

Пример: пусть A = {a, d, c}.

Тогда ß(А) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.

Очевидно, что если B  A, то B  ß(А) и наоборот.

Из нашего примера видно: если множество A = {a, d, c} содержит 3 элемента, то ß(А) содержит 23 = 8 элементов. В общем случае, если в множестве A n элементов, то в ß(А) 2n элементов. Поэтому множество ß(А) часто называют множеством-степенью множества A.