1.5.3 Принцип двойственности

Тождество не нарушится если сделать одновременную замены в тождестве по следующей схеме:

{Пример: тождество

по принципу двойственности можно переписать:

Анналогично: так как то }

Принцип двойственности справедлив и для знаков включения. Из того, что следует, что

Так как, то:

Если тождество содержит разность, то используя, разность можно преобразовать так, чтобы использовать принцип двойственности.

Пример: имеем

Тогда по принципу двойственности:

Это тождество справедливо для произвольных множеств универсума. Поэтому оно не нарушится, если заменить С и соответственно на и A:

Т.е. получаем новое тождество: .

1.6 СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ

1.6.1 По принадлежности элементов множеств

Чтобы доказать тождество А = В, нужно доказать:

а) что т.е. из того, что (следует), что

б) что т.е. из того, что

Пример: доказать тождество

а) Пусть и

Т.е.

б) Пусть и и

Т.е.

Значит

1.6.2 Использование тождественных преобразований

1.6.3 Четыре основных соотношения

1) и

2) и

3)

4)

1.6.4 Решение системы уравнений в алгебре множеств

Пример. Дана система уравнений:

Где A, B, C, X – произвольные множества.

Найти: значение множества X.

Решение.

1. Решаем первое уравнение При этом находим ограничения для множеств A и C.

Перепишем первое уравнение, заменив операцию разность на пересечение: Из свойства равенства множеств следуют два соотношения:

a) б)

Решаем их по-отдельности.

a)

б)

при

Таким образом, из первого уравнения следует:

при .

2. Решаем второе уравнение При этом находим ограничения для множеств A и B.

а)

б)

при

Из второго равенства имеем: при

Теперь необходимо объединить два соотношения, полученные из первого и второго равенства по следующему правилу:

Левые части с помощью операции объединения, а правые – операцией пересечения.

при

Приведем правую часть полученного соотношения к левой:

Имеем решение: при