математика

23.Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Угол между векторами.

Вектором в пространстве называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой —концом. При этом сонаправленные и равные по длине отрезки считаются одним и тем же вектором.

Суммой векторов и называется вектор Для любых векторов справедливы равенства

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство

Доказательство

Пусть A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃) – данные точки.

Вектор имеет координаты вектор имеет координаты Следовательно, вектор имеет координаты Вектор имеет такие же координаты Теорема доказана.

Разностью векторов и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор откуда c₁ = a₁– b₁; c₂ = a₂– b₂.

Произведением вектора на число λ называется вектор т. е.

Для любого вектора и чисел λ и μ
Для любых двух векторов и и числа λ

Коллинеарный вектор

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

Углом между ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине

24.Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки. Координаты вектора. Вычисление расстояния между точками.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что заданапрямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка О –началом координат. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Oz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Oxyz. Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называютсякоординатными плоскостями и обозначаются Оху, Oyz, Ozx.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через M₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки М (она называется абсциссойи обозначается обычно буквой х) определяется так: x = OM₁. Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) у точки М, а с помощью точки М₃ — третья координата (аппликата) z точки М. Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z). Все три координаты начала координат равны нулю: О (0; 0; 0).

Координаты вектора. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через единичный вектор оси абсцисс, через – единичный вектор оси ординат и через – единичный вектор оси аппликат.

Векторы называются координатными векторами. Эти векторы не компланарны, т.е. не лежат в одной плоскости. Поэтому любой вектор можноразложить по координатным векторам, т. е. представить в виде

где коэффициенты разложения вектора по координатным осям x, y, z, являются координатами вектора в данной системе координат.

25.Вывод формул для координат точки, делящий отрезок в заданном отношении.

Теорема. (О делении точки в данном отношении.)

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А и О – произвольная точка. Тогда

Доказательство. По определению . По правилу треугольникасложения векторов имеем: , . Подставляя вравенство , получаем: , откуда и следует .

Теорема доказана.

Следствие 1. (О координатах точки, делящей отрезок.) Пусть , и – три произвольные точки пространства, лежащие на одной прямой и точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А. Тогда:

1) , , .

2) ,

Доказательство. Пусть в равенстве , точка О(0; 0; 0) является началом координат. Тогда векторы и являются радиус-векторами точек А, В и С соответственно и , и .

Теперь, в соответствии с теоремой о действиях с векторами вкоординатной форме, равенства сразу же получаются из равенства , а каждое из равенств следуют из равенств после очевидных алгебраических преобразований.

Следствие доказано.

Следствие 2. Если точка С есть середина отрезка АВ, где , и , то , , .

Доказательство очевидно, т.к. в этом случае .

Содержание