21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
Известно, что дифференциальная задача на собственные значения (1) имеет бесконечный спектр собственных значений и соответствующих им собственных функций , , .
Рассмотрим разностный аналог данной задачи на равномерной сетке.
, (2)
, , , .
Система разностных уравнений (2) представляет собой систему ЛАУ с трехдиагональной симметричной квадратной матрицей
.
Матрица имеет диагональное преобладание и у нее имеется собственных значений. Данная матрица может рассматриваться как разностный аналог дифференциального оператора второй производной.
Разностное уравнение (2) можно представить в эквивалентном виде
. (3)
Это разностное однородное уравнение второго порядка, общее решение которого может быть выражено в виде комбинации линейно независимых частных решений.
(4), где - корни характеристического многочлена
. (5)
Решение (4) удовлетворяет нулевым краевым условиям при выполнении равенств
, . (6)
Однородная система (6) имеет нетривиальное решение при условии . Учитывая, что для корней характеристического уравнения (5) (это доказывается прямыми вычислениями) , имеем
Следовательно, собственные функции, которые для однородного уравнения определяются с точностью до постоянного множителя , имеют вид
, где , .
Полагая и используя формулу Эйлера, окончательно получаем вид собственных функций разностной задачи
.
Заметим, что характер-е уравнение имеет пару комплексно сопряженных решений (5), причем относительно действительной части этих корней имеем .
Отсюда находим собственные значения, соответствующие полученным собственным функциям:
Окончательно приходим к следующему набору собственных функций и собственных значений дискретной задачи:
, , .
Заметим примечательный факт, что набор собственных функций дискретной задачи совпадает в узлах сетки с соответствующими собственными функциями дифференциальной задачи при .
Отметим основные отличия собственных значений дискретной задачи от собственных значений дифференциальной задачи.
-
Спектр собственных значений дискретной задачи при любом конечном числе узлов сетки ограничен, и максимальное собственное значение зависит от шага сетки :
Для сравнения, спектр дифференциальной задачи неограничен: .
-
Для любого фиксированного собственные значения дискретной задачи сходятся к соответствующим собственным значениям дифференциальной задачи при :.
Несложно заметить также, что собственные значения дискретной задачи при любом конечном значении шага сетки меньше соответствующих собственных значений дифференциальной задачи. Это непосредственно следует из неравенства при любом . Структура собственных значений дискретной задачи позволяет заметить также, что все собственные значения, как и в случае дифференциальной задачи, положительны, различны и возрастают с ростом (последнее следует из свойства монотонного возрастания функции на интервале ).
- 1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- 1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- 2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- 2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- 3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- 3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- 5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- 5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- 6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- 7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- 7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- 8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- 8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- 9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- 9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- 10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- 21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- 21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.