Гильбертово пространство с непрерывным базисом

Базис ортов

,

где . Номер ортаk пробегает непрерывные значения в интервале .

Условие ортонормированности базиса. Непрерывность k приводит к замене символа Кронекера в условии (0.6) на дельта-функцию

, (0.11)

где – дельта-функция.

Разложение функции по непрерывному базису

, (0.12)

где проекция на орт , или спектр:

. (0.13)

Совпадение спектров функций означает равенство функций.

Доказательство (0.13)

Подставляем (0.12) в (0.13)

.

Меняем порядок интегрирований по x и k, считая интегралы существующими. Используем условие ортонормированности (0.11) и фильтрующее свойство дельта-функции

.

Получено тождество и это доказывает формулу (0.13).

Условие полноты базиса

. (0.14)

Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.

Теорема Парсеваля

. (0.15)

Предполагается, что интегралы в левой и правой частях (0.15) существуют. Доказать самостоятельно с помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).

Рассмотрим непрерывный базис из гармонических функций.