Соответствия между множествами

Если элементы множества А некоторым образом сопоставляются элементам множества В, образуя при этом упорядоченные пары связанных элементов, то говорят, что между множествами А и В установлено соответствие, а правило, по которому образуются такие пары, называют законом или графиком соответствия. Или более строго: соответствием между множествами А и В называется тройка множеств Г =(G, A, B), где G  AB = {(x,y): xA, yB} – график соответствия Г или закон соответствия. Множество А – называется областью отправления, а В – областью прибытия соответствия Г.

Если (x,y)  G, то говорят, что элемент y соответствует элементу x при Г или y является образом x относительно G, и обозначают y=G(x); а x называют прообразом y относительно G. Множество всех образов элементов xA называют образом множества А в множестве В и обозначают Г(А)={yB: xA и (x,y)G}. Множество всех прообразов элементов yB называют прообразом множества В в множестве А и обозначают Г^-1(В)={xA: yB и (x,y)G}.

Для всех x из пр_А G={xA: yB и (x,y)G }  A говорят, что соответствие Г определено для x, и множество пр_А G ⇋ пр₁ G называют областью определения Г. Для всех y из пр_В G={yB: xA и (x,y)G}  B, говорят, что y является значением, принимаемым соответствием Г, и множество пр_В G ⇋ пр₂ G называют областью значений Г.

Если пр₁ G = А, то соответствие называют всюду определённым.

Если соответствие всюду определено и при этом пр₂ G = B, то имеет смысл понятие обратного соответствия и обратного графика.

График G^-1, элементами которого являются пары (y,x) такие, что (x,y)G называется обратным к G, т.о. G^-1 = {(y,x): (x,y)  G}. Обратным соответствием к соответствию Г называется Г^‑1 = (G^‑1, B, A).

Понятно, что область определения соответствия Г совпадает с областью значений Г^‑1, а область значений Г совпадает с областью определения Г^‑1, поскольку пр₁ G^-1  B и пр₂ G^-1  A.

Если Г^-1 = Г, то соответствие называется симметричным. При этом выполняется равенство: (Г^‑1)^‑1 = Г.

Пример:

Пусть А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус., англ., фр.} и G={(Иван, рус.); (Иван, англ.); (Жанн, фр.); (Жанн, англ.); (Билл, англ.)}. Тогда тройка Г=(G, А, В) задает соответствие между множествами А и В с графиком G (или по закону G). Пусть Х={Иван, Билл}, тогда образом множества Х будет G(X)={рус., англ.}. Если Y={рус., фр.}, то прообразом Y будет множество G^‑1(Y)={Иван, Жанн}. Данное соответствие определено для всех элементов множества А, т.е. область определения пр₁ G = А. Любой элемент множества В является значением соответствия Г, т.е. область значений пр₂ G = B. Обратным соответствием будет соответствие Г^‑1 = (G^‑1, B, A), где G^‑1 ={(рус., Иван); (англ., Иван); (фр., Жанн); (англ., Жанн); (англ., Билл)}. Поскольку Г^-1 Г, соответствие не является симметричным.