1.2.6. Поле направлений.
Отметим, что дифференциальное уравнение в разрешенном относительно производной виде
(20)
устанавливает явную связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке (рис. 3):
Рис. 3 Рис. 4
.
Если функция определена на некоторой области плоскости, то каждой точке соответствует некоторое направление, угловой коэффициент которого равен . Указывая это направление единичным вектором, проходящим через точку , мы получим на поле направлений (рис. 4).
Интегральные кривые уравнения (20) суть кривые, для которых упомянутые направления являются направлениями касательных. Решить дифференциальное уравнение означает найти кривые, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Конечно, в данном случае интегральные кривые принадлежат области .
Пример 4. .
Правая часть этого уравнения определена на множестве всех точек плоскости , кроме точек оси . Если точки лежат на прямой , то для них
,
т. е. поле направлений имеет вид, изображенный на рис. 5.
В данном случае направление прямой совпадает с направлением поля в каждой точке этой прямой, следовательно, интегральными кривыми являются не параллельные оси , выходящие из нулевой точки, лучи без точки (0, 0).
Для построения поля направлений, удобно рассматривать геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие геометрические места точек называются изоклинами.
Пример 5. - уравнение изоклины, соответствующей определенному значению , т. е. это окружность радиуса (рис. 6).
Рис. 5 Рис. 6
Зная изоклины дифференциального уравнения, легко нарисовать эскиз интегральных кривых.
- 11.2. Свойства определённого интеграла.
- 11.3. Вычисление определённого интеграла.
- §43. Функции двух переменных
- 1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
- 1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка.
- 1.2.3. Задача Коши.
- 1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
- 1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.
- 1.2.6. Поле направлений.
- § 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- 1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы.
- 1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.
- 1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными.
- 1.3.4. Однородные уравнения.
- 1.3.5. Линейное уравнение.
- 27.1. Основные понятия
- 27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
- 27.3. Формы записи комплексных чисел
- 28.1. Сложение комплексных чисел
- 28.2 Вычитание комплексных чисел
- 28.3 Умножение комплексных чисел
- 28.4. Деление комплексных чисел
- 28.5. Извлечение корней из комплексных чисел
- 3.1.3. Полярная система координат.