logo
ответы математика 2 курс

3.1.3. Полярная система координат.

В плоскости зададим луч    (полярную ось), выходящий из точки   - полюса полярной системы координат (рис. 13, а).

Яндекс.Директ Все объявления Фейнмановские лекции Книги Ричарда Фейнмана. Закажи сейчас!ozon.ru  факультеты университетов Онлайн-справочник ВУЗов и факультетов, рейтинги и условия поступления.ucheba.ru 

Рис. 13

Положение произвольной точки   (отличной от точки  ) плоскости однозначно определяется парой чисел   -  ее полярными координатами,  где   - расстояние   до  , а   - выраженный в радианах угол между   и  . Если угол   отсчитывается против часовой стрелки от прямой  , то он считается положительным и может изменяться от 0 до  . Если угол   отсчитывается по часовой стрелке, то он считается отрицательным и может изменяться от   до 0. Точка    исключительная. Она определяется парой   , где   - произвольное число.

Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой координат  ,   с началом в точке  , введена полярная система координат  ,  , так что полярная ось и положительная ось   совпадают. Тогда, полярные координаты   произвольной точки   плоскости  преобразуются в декартовы координаты   этой точки по формулам (рис. 13, б)

                              (5)

Равенства (5) называют формулами преобразования полярных координат в декартовы.

Функциональную зависимость  , заданную на некотором множестве   значений  , можно интерпретировать как множество точек   плоскости в полярной системе координат, где  ,  .

Многие кривые на плоскости могут быть описаны в полярных координатах соответствующими функциями    (многозначными или однозначными). Ясно, что в область определения функции   входят только те значения угла  , при которых  .

Построение графика функции   можно осуществить по точкам. При данном   проводим луч из точки    под углом   к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точку   графика функции, находящуюся на расстоянии   от точки  .

Простейшей функцией в полярной системе координат является постоянная функция  . Очевидно, что ее графиком является окружность радиуса   с центром в точке  .

Другой пример   (рис. 13, в). Это спираль, раскручивающаяся из полюса  .

Функция   описывает в полярных координатах спираль Архимеда (рис. 13, г). Отметим, что здесь при  ,  . Стрелка на графике указывает направление движения точки графика при увеличении угла   .

Функция   описывает окружность радиуса единица с центром в точке   (см. рис. 13, д). Наконец, функция

описывают такую прямую, что опущенный на нее из полюса   перпендикуляр имеет длину    и образует с полярной осью угол   (рис. 13, е).

8. Полярная система координат

Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15).

Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох.

Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором,  φ - полярным углом.

Прямая Ох называется полярной осью, а точка О - полюсом полярной системы координат.

Заметим, что r (как расстояние) - всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности.

Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ).

Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину φ из (52) и имея в виду, что r > 0, видим, что знак  должен быть одинаков со знаком y, а знак   - со знаком х.

Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол.

Пример 1. Декартовы координаты точки М(1, -1). Каковы полярные координаты этой точки?

Пример 2. Написать уравнение прямой x = 3 в полярной системе координат.

Пример 3. Построить кривую, зная, что полярные координаты ее точек удовлетворяют уравнению r = a(1 + cos φ ), (a > 0). Эта кривая называется кардиоида.

Решение. Чтобы начертить эту кривую, нужно давать φ последовательно значения от φ = 0 до φ = π (с некоторым шагом) и определять по ее уравнению соответствующие значения r. Каждой из полученных пар чисел (r, φ ) соответствует в плоскости полярной системы координат единственная точка. Построив и соединив их плавной линией, получим кардиоиду (рис. 17).