1.2.6. Поле направлений.

Отметим, что дифференциальное уравнение в разрешенном относительно производной виде

                                                       (20)

устанавливает явную связь между координатами точки   и угловым коэффициентом касательной  к интегральной кривой в этой точке (рис. 3):

Рис. 3                                                                                  Рис. 4

.

Если функция   определена на некоторой области   плоскости, то каждой точке   соответствует некоторое направление, угловой коэффициент которого равен  . Указывая это направление единичным вектором, проходящим через точку  , мы получим на   поле направлений (рис. 4).

Интегральные кривые уравнения (20) суть кривые, для которых упомянутые направления являются направлениями касательных. Решить дифференциальное уравнение означает найти кривые, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Конечно, в данном случае интегральные кривые принадлежат области  .

Пример 4.  .

Правая часть этого уравнения определена на множестве   всех точек плоскости  , кроме точек оси  . Если точки   лежат на прямой  , то для них

,

т. е. поле направлений имеет вид, изображенный на рис. 5.

В данном случае направление прямой   совпадает с направлением поля в каждой точке этой прямой, следовательно, интегральными кривыми являются не параллельные оси  , выходящие из нулевой точки, лучи без точки (0, 0).

Для построения поля направлений, удобно рассматривать геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие геометрические места точек называются изоклинами.

Пример 5.  - уравнение изоклины, соответствующей определенному значению    , т. е. это окружность радиуса   (рис. 6).

Рис. 5                                                   Рис. 6

Зная изоклины дифференциального уравнения, легко нарисовать эскиз интегральных кривых.