11.2. Свойства определённого интеграла.

1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и  .  Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек   выполняется   . Перейдем в этом равенстве к пределу при  . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.  2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то  .  Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_i0, . Тогда  . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для  , вторая - для  . Переходим к пределу при  . Пределы для всех трёх сумм существуют, и  .  Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f(x)интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному,  . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что  .  При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a.  3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то  .  Док-во. Если f(x) = 1 , то для любого разбиения    = x_n - x₀ = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.  4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке   выполняется неравенство   , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то  .  Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек   при    . Переходя в этом неравенстве к пределу при  , получаем требуемое неравенство.  5. Теоремы об оценке интеграла.   5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству  , то    .  Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств):  . Аналогично доказывается и правое неравенство.  5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то  .  Док-во.  .  6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  , такая что  .  Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения.  Тогда  . Число   заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка  , такая что  .  Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка   такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).