1.2.3. Задача Коши.

Отметим задачу, называемую задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Она гласит: требуется найти решение   данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

,

где   - заданная точка плоскости  .

Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение.

Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт, который будет доказан в § 1.6: для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно   форме

задача Коши имеет решение и притом единственное для любой точки   области   плоскости  , если заданная на этой области функция   непрерывна вместе со своей частной производной  .

Конечно, единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если   и   суть ее решения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию  , заданные соответственно на интервалах   и  , то   на пересечении этих интервалов.