28.3 Умножение комплексных чисел

Произведением к омплексных чисел z₁ =х₁ +iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z=z₁ z₂ =(x₁ x₂- у₁ у₂)+i(x₁ y₂+y₁x ₂ ).                    (28.3)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i ² =- 1.                                                 (28.4)

Действительно, i²=ii=(0+1 i )(0+1i )=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов x₁₊ iy₁ и х₂+iy₂:

(х₁ +iy₁ )(x₂+iy₂) =x₁x ₂ +x₁ iy₂+i у₁ х₂+iy₁iy ₂ =x₁ x₂ +i²y₁ y₂+i (x₁ y₂+y₁ x₂)=x₁ x₂-y₁ y₂+i(x₁ y₂+y₁x ₂).

Например,

(2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i²=-10+23i+12=2+23i.

Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х²+у² — действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

z₁z₂=z₂z₁

(z₁z₂)z₃=z₁(z₂z₃).

z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.

В этом легко убедиться, используя определение (28.3).

Найдем произведение комплексных чисел z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂), заданных в тригонометрической форме:

z₁z₂=r₁(cosφ₁+isinφ₁)r₂(cosφ₂+isinφ₂)=

r₁r₂(cosφ₁cosφ₂+isinφ₁cosφ₂+rcosφ₁siπφ₂-sinφ₁sinφφ₂)=

=r₁r₂((cosφ₁cosφ₂-siπφ₁sinφ₂)+i(sinφ₁cosφ₂+cosφ₁ sinφ₂))=

=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+i sin(φ₁+φ₂)),

т. е.

z₁z₂=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)).

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то

zⁿ=(r(cosφ+isinφ))ⁿ=rⁿ(cosnφ+isinnφ).              (28.5)

Формула (28.5) называется формулой Муавра.

Пример 28.1

Найти   

Решение: Запишем сначала число    в тригонометрической форме:

По формуле Муавра имеем