Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

Полным приращением функции называется такое приращение, при котором одновременно изменяются все ее переменные.

∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f_x’(x,y) и f_y’(x,y). Зафиксируем пару значений x и y и дадим им приращения ∆x и ∆y.

Тогда функция получит приращение,  ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y), которое называется полным приращением. Запишем ∆z  следующим образом: ∆z=(f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y+∆y))+(f(x,y+∆y)-f(x,y)) (3).

Каждое из выражений в скобках представляет собой частное приращение функции z. Применим к этим выражениям формулу Лагранжа:

,

Где  а . Если  и  то . Значит, в силу непрерывности частных производных, при  . Таким образом,  , где  и  бесконечно малые величины. Отсюда:  (4).

 Обозначим  Тогда , где . Так как , , поэтому . Значит, при  и ,  также стремиться к нулю. Соотношения  равносильны соотношению . Окончательно,

  (5)

причем . Формула (5) называется формулой полного приращения функции. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно ∆x и ∆y и представляет собой главную часть приращения, отличаясь от ∆z  на бесконечно малую высшего порядка относительно ∆p . Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

.

Приращения независимых переменных ∆x и ∆y  равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx=∆x  и dy=∆y. Тогда . Равенство (5) можно переписать в виде: ,и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно ∆p можно записать приближенное равенство: , причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращения аргументов.

7. Содержание

   • Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
   • Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
   • Сложные функции и их дифференцирование.
   • Неявные функции и их дифференцирование.
   • Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
   • Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
   • Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
   • Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
   • Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
   • Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
   • Интегрирование тригонометрических функций
   • Интегрирование дробно-рациональных функций.
   • Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
   • Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
   • Интегрирование гиперболических функций
   • Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
   • Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
   • Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
   • Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
   • Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
   • Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
   • Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
   • Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
   • Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.