Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
Совокупность всех векторов, ортогональных подпространству, называется ортогональным дополнением.
Т Ортогональное дополнение – линейное подпр-во (сумма двух скалярных произведений, и из свойств скалярного пр-я).
Т Прямая сумма подпр-ва и его ортогонального дополнения – все пр-во (рассмотреть наличие еще одного базисного вектора и применить к базису процесс ортоганалиации).
Следствие: существует единственное разложение вектора на подпр-во и его ортогонального дополнения. Вектор из подпр-ва – проекция, добавочный – ортогональная составляющая. Скалярный квадрат наклонной равен сумме скалярных квадратов проекции и перпендикуляра. Длина перпендикуляра – расстояние до подпр-ва.
Билет 10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы.
(Начало взять из Б6)
Матрица над полем комплексных чисел называется унитарной, если произведение её на сопряжение равно произведению сопряжения на неё и равно I. Матрица над полем вещественных чисел называется ортогональной, если обратная к ней – транспонированная.
Т Матрица перехода от ортогонального базиса (1) к базису (2) евклидового (унитарного) пр-ва ортогональна (унитарна) тогда и только тогда, когда (2) ортогональный базис.
(Столбцы матрицы перехода – координаты нового базиса в старом, расписать равенство I, получить выражения для скалярных произведений).
Билет 11. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. QR-разложение матрицы.
Процесс: 1 шаг – нормируем 1 базисный вектор.
последующие шаги - вычитаем из соответствующего базисного вектора новые базисные вектора с коэффициентами из соображения ортогональности, затем нормируем.
Процесс ортогонализации приводит путем элементарных преобразований столбцов матрицу к ортогональной (унитарной) Q путем умножения исходной матрицы справа на верхнюю треугольную L. R = L^(-1). L – квадратная матрица.
Билет 12. Линейное аффинное многообразие в линейном пространстве. Гиперплоскость в евклидовом и унитарном пространстве.
Вектор многообразия, перпендикулярный образующему пространству, называется нормальным вектором.
Т Для любого линейного многообразия в евклидовом (унитарном) пр-ве существует, и притом единственный, нормальный вектор (пересечение многообразия с ортогональным дополнением к образующему пространству состоит из 1 вектора, а это доказывается через разложение нормального вектора).
Т Нормальный вектор линейного многообразия совпадает с перпендикуляром, опущенным из любого вектора линейного многообразия на направляющее подпр-во (выбрать в качестве направляющего вектора нормальный).
Гиперплоскость: размерность дополнительного подпр-ва – 1. Выражение для гиперплоскости (x – x0, a) = 0 или в равносильной форме (x, a) = p, p = (x0, a)
- Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.
- Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.
- Билет 4. Прямая сумма подпространств.
- Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.
- Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.
- Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.
- Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.
- Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.
- Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.
- Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.
- Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.
- Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.
- Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
- Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
- Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.
- Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.
- Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
- Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.
- Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
- Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
- Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.
- Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.
- Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).