§3. Площадь поверхности, заданной параметрически

Напомним определение понятия «площадь поверхности», которое было дано в теме «Кратные интегралы», §5, VI.

Поверхность разбивают на части , и обозначают . В каждой такой части выбирают точку и проводят касательную плоскость . Затем проектируют на : и суммируют площади этих проекций.

.

Конечный предел и называют площадью поверхности. Известно, что, если в каждой точке поверхности существует касательная плоскость, то поверхность имеет площадь. (Заметим, что речь идёт, конечно, не о всей поверхности, а о некоторой её ограниченной части).

Пусть поверхность задана параметрически:

Разобьём область изменения параметров на прямоугольники линиями и .Тем самым и поверхность соответствующими координатными линиями разобьётся на пространственные «четырёхугольники».

.

Рассмотрим, один из таких «четырёхугольников» . Касательную плоскость проведём в точке, криволинейные координаты которой . Проекцию на эту плоскость можно приближенно считать параллелограммом, который построен на векторах и . Эти частные приращения вектор-функции двух аргументов можно выразить через частные производные и приращения аргументов (теорема Лагранжа):

Площадь же параллелограмма, построенного на векторах, есть модуль их векторного произведения:

(1)

Заметим, что здесь произведение – это площадь прямоугольника в области изменения параметров , которому соответствует часть поверхности . Перенумеруем все такие прямоугольники и просуммируем площади проекций (1):

.

В этой сумме нетрудно увидеть интегральную сумму для двойного интеграла.

Теорема. Площадь поверхности, заданной параметрически

,

вычисляется по формуле

если только написанные частные производные являются непрерывными в области .

Замечание. Как уже говорилось, явное задание поверхности есть частный случай параметрического:

Тогда

и мы приходим к известной формуле:

.

Пример. Найти площадь одного витка винтовой поверхности

Решение. Предварительные вычисления:

Выражаем искомую площадь через интеграл:

Используя результат примера 13 из §3, III темы «Неопределённый интеграл»

,

нетрудно получить искомую площадь