26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
Теорема (О структуре общего однородного дифференциального уравнения): пусть y1(x), y2(x),…, yn(x) фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Тогда его общее решение имеет вид y(x)=c1y1(x)+ c2y2(x)+…+ cnyn(x) (2). Доказательство: функция, определенная равенством (2), является решением однородного д/у. Докажем, что y(x) – общее решение, т.е. что при начальных условиях можно подобрать постоянные c1, c2,…, cn так, чтобы получилось частное решение, удовлетворяющее взятым н.у.
Пусть функции ai(x), входящие в уравнение непрерывны на [a,b]. Возьмем значение x0 (a<x0<b) и зададим н.у. y(x0)=y0, y(x0)=y0,…, y(n-1)(x0)=y(n-1)0 . Обозначим yk(x0)=yk0, y(i)k(x0)=y(i)k0. (i=1,n-1). Составим систему уравнений, используя (2) и н.у., Полученная система является неоднородной алгебраической системой уравнений относительно неизвестных c1, c2,…, cn с определителем W(x0). Поскольку по условиям теоремы система решений {y1(x), y2(x),…, yn(x)} – фундаментальна, определитель Вронского W(x) в любой точке отличен от нуля, в частности и W(x0)0. Следовательно, линейная алгебраическая система уравнений имеет единственное решение . В результате нам удалось построить на основе (2) единственное частное решение, удовлетворяющее заданным н.у.
27.Теорема о максимальном числе линейно независимых решений однородного уравнения. Теорема о тождественности линейных уравнений с одной и той же фундаментальной системой решений.
Теор(О Количестве линейно независимых решений)
Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка равно порядку уравнения.
Док-во достаточно показать что любые (n+1) решений дифференциального уравнения
y(n) +a1 (x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=0 (1) всегда линейно зависимы. Пусть y1, y2,…yn,yn+1 –любые решения уравнения (1) Рассмотрим два случая
а) первые n решений y1, y2,…yn – линейно зависимы, т.е 1 2…n R (21+22+…+2n0), такие что 1 y1+2 y2…+n yn=0, тогда система y1, y2,…yn,yn+1 так же линейно зависима.
б) Пусть y1, y2,…yn – линейно независимая система решений. Тогда она является фундаментальной, значит любое другое решение может быть представлено в виде линейной комбинации решений y1, y2,…yn, в частности yn+1 таким образом всегда найдутся постоянные i (i=1,2…n) для которых yn+1=1 y1+2 y2+…n yn а это означает что система линейно зависима.
Теорема (о тождественности линейных уравнений с одной и той же фундаментальной системой решений.)
Если два линейных однородных дифференциальных уравнения с коэффициентами при старшей производной равными единице имеют одну и ту же фундаментальную систему решений, то они тождественны.
Док-во: Предположим что имеются два линейных однородных дифференциальных уравнения
y(n) +a1 (x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=0 (1)
y(n) +b1 (x)y(n-1)+…+bn-1(x)y’+bn(x)y=0 (2)
имеющих одну и ту же фундаментальную систему решений y1, y2,…yn Вычитая одно уравнение из другого получим:
[a1(x)-b1 (x)]y(n-1)+…+[an(x)- bn(x)]y=0 (3)
Функции y1, y2,…yn обращают это утверждение в тождество, поскольку они являются решениями как уравнения с коэффициентами ai(x) так и уравнения c bi(x). Допустим что i такое что в точке х=х0: ai(x0)bi(x0) тогда в силу непрерывности функций ai(x) и bi(x) неравенство имеет место в некоторой окрестности точки х0 т.е ai(x0)- bi(x0)0 поделим уравнение (3) на первую отличную от нуля разность [ak(x)- bk(x)] Тогда получим дифференциальное уравнение порядка не выше (n-1) c коэффициентами при старшей производной равными единице. Более того, коэффициенты этого ур-я будут непрерывными функциями в некотором интервале. Данное уравнение имеет фундаментальную систему решений y1, y2,…yn однако по теореме о максимальном числе линейно независимых решений такого уравнения не превосходит его порядка, т.е (n-1) Пришли к противоречию, Значит i,x: ai(x) bi(x)
32-2 Вопрос, можно ли найти частное реш-е линейного неоднородного у-я с произв-й правой частью с помощью обратного оператора? Оказывается, это можно сделать, если воспользоваться разложением обратного оператора на простейшие дроби: и формулой смещения. Подставим данное разложение в формулу для частного решения линейного неоднородного уравнения с произв-й правой частью: (1) Попытаемся свести действие простейшей операторной дроби на ф-цию f(x) к интегрированию, добавив специальные множители и применив формулу смещ-я. =
Поскольку мы ищем любое частное решение линейного неоднородного уравнения, расставим пределы у повторных интегралов так, как нам удобно. А именно, по убыванию аргументов Изменяя порядок интегрирования на обратный и вычисляя (r-1) интегралов, придем к Подставляя это в (1) получаем Отсюда видно, что частное реш-е линейного неоднородного у-я с произвольной правой частью представимо в виде квадратуры
, где - ф-ция Грина.
38. Уравнение Эйлера. Запись фундаментальной системы решений уравнения Эйлера в зависимости от вида корней характеристического многочлена. Способ отыскания частного решения уравнения Эйлера.
Существует целый класс линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами которые сводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами Рассмотрим неоднородное линейное уравнение n-го порядка следующего вида:
xny(n)+a1xn-1y(n-1)+…+an-1xy’+any=f(x) (1)
в уравнении (1) называемом уравнением Эйлера числа a1…an – действительные постоянные Точка х=0 является особой точкой уравнения Эйлера.
Проанализируем сначала однородное уравнение
xny(n)+a1xn-1y(n-1)+…+an-1xy’+any=0 (2)
Сделаем замену аргумента x=et тогда
и т.д.
где 1…k-1 – некоторые действительные постоянные. Отсюда следует что
(3)
Подставляя выражение (3) в уравнение (2) придём к линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:
(4)
Методы решения уравнения (4) хорошо известны. Его решение ищут в виде y=cet.Это означает при решении однородного уравнения (2) нет никакой необходимости проводить замену переменного а следует сразу искать его решение в виде y=cet= y=c(et) =сx. Подставляя y= сx в (2) имеем:
cxn(-1)…(-n+1)x-n+ca1xn-1(-1)…(-n+2)x-n+1+…+can-1xx-1+canx=0
сокращая обе части на сх получаем характеристическое уравнение для определения параметра :
(-1)…(-n+1)+a1(-1)…(-n+2)+…+an-1+an=0 (5)
рассмотрим различные ситуации для корней уравнения (5)
1) Если корни характеристического уравнения (5) действительные и простые то тогда им соответствует фундаментальная система решений вида
e1t,e2t…ent или x1, x2…xn
2) Если среди корней есть комплексно сопряжённые 1=+i 2=-i то этими корнями как известно соответствуют действительные решения
etcost etsint или xcos(lnx), xsin(lnx)
3) Пусть все корни действительны но среди них есть кратные. Если например корень имеет кратность m то ему соответствуют m решений вида:
et, tet…tm-1et или x, xlnx…x(lnx)m-1
4) пусть среди корней есть комплексно сопряжённые кратные корни 1=+i кратности m и 2=-i тоже кратности m. То этой паре соответствует 2mдействительных решений:
etcost, tetcost,…tm-1etcost, etsint, tetsint…tm-1etsint
или
xcos(lnx), x(lnx)cos(lnx)…x(lnx)m-1cos(lnx)
xsin(lnx), x(lnx)sin(lnx)…x(lnx)m-1sin(lnx)
способ отыскания частного решения уравнения Эйлера:
пусть дано ур-е Эйлера
x2y’’+2xy’-6y=18x2lnx
составляя характеристическое уравнение для и подставляя решение в виде y=x
найдём корни 1=2 2=-3. Следовательно общее решение таково: yoo=c1x2+c2x-3
по виду получившегося хар.ура. 2+-6=0 легко восстановить дифференциальное уравнение для функции y=y(t) получающегося после замены x=et Достаточно заменить все k на и подставить x=et в правую часть исходного уравнения в результате найдём:
y’’tt-y’t=18te2t
далее находим частное решение операторным методом:
подставляя в это решение t=lnx и складывая с полученным ранее общим решением окончательно получаем:
- 22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- 23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- 24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- 26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- 39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- 43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- 1) Необходимость
- 2) Достаточность
- 44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- 45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- 46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- 47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- 58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- 59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.