42. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій.

Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції , . Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці і , то в точці є неперервною також і функція .

Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основні тригонометричні функції є неперервними на будь-якому проміжку, у кожній точці якого вони визначені. Графік неперервної функції на такому проміжку є безперервною лінією.

Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція є монотонною на , то вона перетворюється на 0 тільки один раз.

Наслідки 1) Якщо функція неперервна на проміжку , то вона дістає на цьому проміжку будь-яке значення M, яке розташоване між і . 2) Якщо функція неперервна на проміжку і не перетворюється на нуль всередині цього проміжка, то вона має один і той самий знак в усіх внутрішніх точках проміжку. Ці властивості дають змогу обґрунтувати метод інтервалів, який широко застосовується для розв’язування нерівностей.

Будь-яка елементарна функція є неперервною і диференційовною у своїй області визначення. Похідна елементарної функції також є елементарною функцією. З іншого боку, зворотна функція та первісна елементарної функції може не бути елементарною функцією.