1.Основные определения
Кольцо R -- это непустое множество с операциями сложения и умножения, причем относительно сложения R -- абелева группа, и обе операции связаны законами дистрибутивности
x(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz,
где x,y,z - произвольные элементы из R.
Алгеброй называют линейное пространство, в котором кроме сложения и умножения на числа определена операция умножения элементов пространства, причем умножение и сложение удовлетворяют законам дистрибутивности
a(бb+вc)=бaв+вac, (бb+вc)a=бba+вca,
где б, в - числа, а a,b,c - элементы алгебры.
Если линейное пространство алгебры рассматривается над полем вещественных (комплексных) чисел, то алгебру называют вещественной (комплексной ).
Допустим, что в некотором кольце К для любых трех элементов x,y,z справедливо соотношение
x(yz)+y(xz)+ z (xy) =0.
В этом случае мы скажем, что в К выполняется тождество Якоби.
Алгеброй Ли называется векторное пространство L с умножением (билинейным отображением (о1, о2) >[ о1, о2] произведения L L в L), которое антисимметрично
[ о1, о2]+ [ о2, о1]=0
и удовлетворяет тождеству Якоби
[ о1, [о2, о3]] + [ о2, [о3, о1]] +[ о3, [о1, о2]] =0
для всех о1, о2, о3 L.
Пусть L есть К - алгебра Ли V - некоторый К - модуль. Мы говорим, что V является К - модулем, если существует К - билинейное отображение L V > V, удовлетворяющее следующей аксиоме ( в записи которой x,y L, v V, yv - образ пары (y,v) при данном билинейном отображении):
(xy)v=x(yv)-y(xv).
Подпространство К пространства L называется подалгеброй алгебры Ли L, если [ К,К] К, и идеалом этой алгебры, если [ К, L] К.
Если К, N--идеалы алгебры L, то пересечение К N, произведение [К, N] и сумма K + N подпространств К, N векторного пространства L также являются идеалами алгебры L, причем [К, N] =K N. Если K N = 0, то [К N]=0; при этом идеал K + N называется прямой суммой идеалов К, N алгебры L и обозначается символом К N. Если в алгебре L существуют такие идеалы К, N, что L= К N, то алгебра L называется разложимой в прямую сумму своих подалгебр К и N.
Алгебра L называется разрешимой, если L(n) = 0 для некоторого n > 0.
Алгебра Ли называется нильпотентной, если для некоторого положительного целого n L(n)=0.
Пусть K, N--разрешимые идеалы алгебры Lr. Факторалгебра (K+N)/N изоморфна разрешимой алгебре К/(К N) и, значит, разрешима. Поэтому идеал K + N разрешим как расширение разрешимой алгебры (K+N)/N с помощью разрешимой алгебры N. Отсюда следует, что разрешимый идеал R максимальной размерности в конечной алгебре Ли Lr является единственным и содержит все разрешимые идеалы алгебры Lr. Этот максимальный разрешимый идеал R называется радикалом алгебры Lr.
Алгебра Ли Lr называется полупростой, если ее радикал равен нулю.