Алгебра и теория чисел

Комплексные числа. Корни из единицы. Кольцо многочленов и кольцо целых чисел ( теория делимости: деления с остатком, алгоритм Евклида, НОД и НОК, критерий взаимной простоты, простые элементы, факториальность). Корни многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Кратность корня. Основная теорема алгебры. Многочлены неприводимые над R и C. Алгоритм Штурма. Поле частных кольца многочленов. Разложение дроби на простейшие. Основная теорема о симметрических многочленах. Результант и дискриминант. Теория чисел. Теорема Эйлера и малая теорема Ферма. Кольцо вычетов по модулю m. Сравнения первой степени с одним неизвестным и неопределенные уравнения. Разложение чисел в цепные дроби. Наилучшие приближения. Квадратичные вычеты и символ Лежандра. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы. Теория определителей (свойства, теорема Лапласа). Алгебра матриц (действия над матрицами, миноры и алгебраические дополнения, обратная матрица, теорема об определителе произведения матриц). Линейное пространство (линейная зависимость, размерность, базис, подпространство). Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли, связь решений неоднородной и приведенной однородной системы, фундаментальная система решений. Группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Факторгруппа. Основные теоремы о гомоморфизмах. Действие группы на множестве (орбиты, стабилизаторы, формула длины орбиты). Теоремы Силова. Задание группы образующими и определяющими соотношениями. Строение конечно порожденных абелевых групп. Кольца и поля. Идеалы, факторкольцо, теоремы о гомоморфизмах колец. Характеристика поля. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля.