Линейные алгебры малых размерностей

курсовая работа

6.Описание алгебр Ли малых размерностей

Опишем теперь все алгебры Ли, размерность которых меньше четырех. Пусть (e1,e2,…,en) - базис алгебры Ли L; тогда [eiei]=0, [eiej]=-[ejei], и поэтому для задания таблицы умножения в этом базисе достаточно определить произведения [eiei] для i<j. Будем использовать в наших рассуждениях эти сокращенные таблицы умножения:

I. Dim L=1. Тогда L=Фе, [ee]=0.

II. Dim L=2

(a) L=0, L - абелева.

(b) L0. Поскольку L=Фе+Фf, L= Ф[ef] имеет размерность единицу.

Мы можем выбрать элемент е так, что L= Фe. Следовательно, L совпадает с ассоциативной алгеброй. Эта алгебра - единственная неабелева алгебра Ли размерности 2.

III. Dim L=3.

(a) L=0, L - абелева.

(b) Dim L=1, L N, где N - центр. Если L=Фе, то мы запишем

L=Фе+Фf+Фg.

Тогда L= Ф[fg]. Поэтому можно положить [fg]=e. Таким образом, алгебра L имеет базис (e,f,g) с таблицей умножения

[fg]=e, [ef]=0, [eg]=0. (1)

(с) L=1, L N,

где N - центр. Если L=Фе, то существует элемент f, такой, что [ef] 0. Тогда [ef]=вe0 и можно положить [ef]=е. Поэтому Фе+Фf - неабелева алгебра L размерности 2. Так как R L, где R - идеал, а так как R - совершенная алгебра, то L=R о , где о=Фg. Поэтому о имеет базис (e,f,g) с таблицей умножения

[ef]=e, [eg]=0, [fg]=0. (2)

(d) Dim L=2. Алгебра L не может быть неабелевой двумерной алгеброй Ли L, так как тогда имели бы место равенства L=R о и L=R=R. Но RR . Поэтому L абелева. Пусть L= Фе+Фf и L=Фе+Фf+Фg. Тогда L= Ф [eg]+ Ф [fg] и, следовательно, ad g индуцирует взаимно однозначное линейное отображение в L. Поэтому алгебра L имеет базис (e,f,g) с таблицей умножения

[ef]=0, [eg]=бe+вf, [fg]=гe+дf, (3)

где А= - невырожденная матрица. Обратно, в каждом пространстве L с базисом (e,f,g) мы можем определить произведение [ab] так, что выполнены условия (3) и условие [aа]=0. Тогда [ [ef] g ]+[ [fg] e ]+ +[ [ge] f ]=0, и поэтому L является алгеброй Ли. Какие изменения можно внести в таблицу умножения (3)? Наш выбор базиса равносилен следующему: мы выбираем базис (e,f) алгебры L и дополняем его элементом g так, чтобы получить базис алгебры L. При изменении базиса L матрица А переходит в подобную матрицу М-1АМ. Допустимым изменением элемента g является замена этого элемента на элемент сg+х, с Ф, х L.

Тогда [e, сg +х ]=с[eg], [f, сg+х]=с[fg], вследствие чего матрица А переходит в матрицу сА. Поэтому матрица А в таблице умножения (3) мы можем заменить любой матрицей вида сВ, где В - матрица, подобная А. Это означает, что мы имеем взаимно однозначное соответствие между алгебрами L, удовлетворяющими условиями Dim L=3, Dim L=2, и классами сопряженных элементов в двумерной группе коллинеаций.

Если основное поле алгебраически замкнуто, мы можем выбрать матрицу А в одной из следующих форм:

, б 0; , в 0.

Это приводит к таким таблицам умножения:

[ef]=0, [eg]=е, [fg]=бf,

[ef]=0, [eg]=е+ вf, [fg]=f.

Различным элементам б соответствуют различные алгебры 1, поэтому мы получаем бесконечно много неизоморфных алгебр.

(e) Dim L=3. Пусть (e1,e2,e3) - базис, и положим [e2e3]=f1, [e3e1]=f2, [e1e2]=f3. Тогда (f1, f2, f3) - тоже базис. Запишем fi= , где А=(бij) - невырожденная матрица. Единственное условие Якоби, которое нужно наложить, следующее: [f1e1]+[f2e2]+[f3e3]=0. Отсюда получаем соотношение

0= б12[e2e1]+ б13[e3e1]+ б21[e1e2]+ б23[e3e2]+ б31[e1e3]+ б32[e2e3]= -б12f3 + б31f2+ +б21f3- б23f1- б31f2+ б32f1.

Поэтому бij= бji, так что А - симметрическая матрица. Пусть () - другой базис, где , М=(мij) - невырожденная матрица. Положим

Для тройки (i,j,k), полученной циклической перестановкой индексов (1, 2, 3), имеем формулы

[?мjrer, ?мkses]= [ eres]=(мj2 мk3- мj3 мk2)f1+( мj3 мk1- мj1 мk3)f2+ +( мj1 мk2- мj2 мk1)f3=?нirfr.

1 Следует исключить случай, когда элементы б 0, б 0 связаны соотношением б б=1. Тогда они определяют одну и туже алгебру, так как

Матрица N=( нij)=adj M=(M)-1det M1. Матрица А связывает элементы f с элементами е, а матрица M-1 связывает элементы е с элементами . Поэтому, если - матрица (), такая, что , то

=(det M)(M)-1AM-1. (4)

Матрицы А и В называются мультипликативно коградиентными, если В=сNAN, где N - невырожденная матрица и с - отличный от нуля элемент поля Ф. В этом случае можно записать В=су2-1N)A (у-1N),у=с det N,и если

матрицы имеют три столбца и три строки, то мы положим M=уN-1 и В=м(M-1)AM-1,м=су2=det M. Таким образом, мы получам соотношение (4).

Вследствие этого матрицы А и (симметрические) должно быть мультипликативно коградиентны.

Поэтому каждой алгебре L, удовлетворяющей нашим условиям, однозначно сопоставляется единственный класс невырожденных мультипликативно коградиентных симметрических матриц. Имеется столько алгебр, сколько существует классов таких матриц. Далее мы будем предполагать, что характеристика основного поля отлична от 2.

Тогда каждый коградиентный класс содержит диагональную матрицу вида diag{б,в,1},бв 0. Отсюда следует, что базис может быть выбран так, что выполняются равенства

[e1e2]=e3, [e2e3]=бe1, [e3e1]=вe2. (5)

Если основное поле - поле вещественных чисел, имеются две различные алгебры, соответствующие выбору б=в=1 и б=-1, в=1. Если поле алгебраически замкнуто, то можно положить б=в=1. Мы опишем сейчас некоторую частную алгебру в семействе алгебр, удовлетворяющих условию Dim L=3= Dim L. Наложим на алгебру L следующие условие: существует элемент h L, такой, что ad h имеет характеристический корень б 0, б Ф. Тогда найдется вектор е 0, такой, что [eh]=e ad h бe 0, и так как [hh]=0, то е и h - линейно независимы и являются частью базиса (e1,e2,e3) (e, h,f). Если (f1, f2, f3) определены как раньше, то симметрическая матрица (бij) имеет вид. (6)

Из формул [eh]=бe, [h,h]=0, [fh]=-бf-б11e-б12h, следует, что характеристические корни эндоморфизма ad h равны 0, б, -б.

Мы можем заменить f характеристическим вектором, соответствующим корню -б, так как этот вектор линейно независим относительно пары (e, h).

Здесь М - матрица, получающаяся из М транспонированием, adj М- присоединенная матрица матрицы М, det М - определитель матрицы М.

Мы видим, таким образом, что существует единственная алгебра, удовлетворяющая нашим условиям.

Поэтому мы можем предположить, что [eh]=бe, [fh]=-бf. Если заменить h на 2б-1h, то получится [eh]=2e, [fh]=-2f. Из формулы (6) следует, что [ef]=вh0.

Заменив f на в-1f, мы получим базис (e, f,h) с законом умножения

[eh]=2e, [fh]=-2f, [ef]=h. (7)

Делись добром ;)