3.Алгебры Ли
Алгеброй Ли называется векторное пространство L с умножением (билинейным отображением (о1, о2) >[ о1, о2] произведения L L в L), которое антисимметрично
[ о1, о2]+ [ о2, о1]=0
и удовлетворяет тождеству Якоби
[ о1, [о2, о3]] + [ о2, [о3, о1]] +[ о3, [о1, о2]] =0
для всех о1, о2, о3 L. Произведение [ о1, о2] называется коммутатором векторов о1 и о2. Любое векторное пространство можно превратить в алгебру Ли. Если, например, определить умножение, пологая [ о1, о2]=0 для всех векторов о1, о2 рассматриваемого пространства, то получается алгебра Ли, называемая коммутативной, или абелевой. Размерностью алгебры Ли L называется размерность векторного пространства L. Алгебра L размерности r будет обозначаться также символом Lr.
Пусть Lr - алгебра Ли, о1,…, оr - базис соответствующего векторного пространства Lr. Разложение коммутатора любой пары базисных векторов по этому базису имеет вид
[ оi, оj]=ckij оk,
где ckij (I,j,k=1,…,r) - вещественные числа. Числа ckij называются структурными константами ( в данном базисе ) алгебры Lr и образуют аффинный тензор над векторным пространством Lr. Антисимметричность коммутатора и тождества Якоби накладывают следующие условия на структурные константы:
ckij+ ckji=0, ckim cmin+ ckjm cmni+ cknm cmij=0.
Линейное отображение f: L>K называется гомоморфизмом алгебры L в алгебру К, если для всех векторов о, о из L выполняется равенство
f([о, о])=[ f(о), f(о)].
Множество f-1(0) всех векторов из L, которые при гомоморфизме f переходят в нулевой вектор пространства К, называется ядром гомоморфизма f. Если f отображает L на К и f-1(0)=0, то гомоморфизм f называется изоморфизмом, а алгебры L и К - изоморфными. Изоморфизм алгебры L на себя называется автоморфизмом.
Пусть L - алгебра Ли, К и N - подпространство векторного пространства L, а К N обозначает их пересечение. Суммой подпространств К, N называется подпространство К+ N, состоящее из всех векторов вида з+ о (з К, о N), а их произведением [К, о] - линейная оболочка всех коммутаторов [ з, о] (з К, о N). Если КN=0, то К+ N называется прямой суммой подпространствах К, N.
Подпространство К пространства L называется подалгеброй алгебры Ли L, если [ К,К] К, и идеалом этой алгебры, если [ К, L] К.
Если К, N--идеалы алгебры L, то пересечение К N, произведение [К, N] и сумма K + N подпространств К, N векторного пространства L также являются идеалами алгебры L, причем [К, N] =K N. Если K N = 0, то [К N]=0; при этом идеал K + N называется прямой суммой идеалов К, N алгебры L и обозначается символом К N. Если в алгебре L существуют такие идеалы К, N, что L= К N, то алгебра L называется разложимой в прямую сумму своих подалгебр К и N. Пусть теперь К -- идеал, a N--подалгебра алгебры L, причем K N=0; тогда прямая сумма K + N подпространств К, N пространства L является подалгеброй алгебры L и называется полупрямой суммой подалгебр К и N алгебры L. Если при этом L = К+ N, то говорят, что алгебра L является полупрямой суммой своих подалгебр К и N.
Пусть К--идеал алгебры L. Семейство L/К попарно непересекающихся смежных классов о + K естественно снабжается структурой алгебры Ли. Полученная алгебра L/К называется факторалгеброй алгебры L по идеалу К, а гомоморфизм о> о+К алгебры L на алгебру L/К -- естественным, или каноническим, гомоморфизмом; ядром этого гомоморфизма являетсяидеал К. Сама алгебра L называется при этом расширением алгебры L/К с помощью К.
Алгебра Ли L(1) = [L, L] называется производной алгеброй алгебры Ли L. По построению, L(1) является идеалом в L. Производные алгебры более высокого порядка определяются рекуррентно: L(n+1) = (L(n))(1), n=1, 2, ...
Алгебра L называется разрешимой, если L(n) = 0 для некоторого n > 0. Простейшим примером разрешимой алгебры является коммутативная алгебра Ли. Разрешимы также все одномерные и двумерные алгебры Ли. Подалгебра и гомоморфный образ любой разрешимой алгебры, очевидно, разрешимы; в частности, разрешима факторалгебра разрешимой алгебры по любому ее идеалу. Кроме того, если идеал K алгебры L и факторалгебра L/K разрешимы, то сама алгебра L также разрешима. Действительно, если K(n) = 0, (L/K)(m) = 0 для некоторых положительных n, т, a f: L> L/K -- естественный гомоморфизм, то f(L(m))=(f(L))(m)= (L/K)(m)=0, откуда следует, что L(m) К и
L(n+m)=0.
Алгебра Ли называется нильпотентной, если для некоторого положительного целого n L(n)=0.
При помощи индукции легко проверить, что L(n) L(n). В самом деле, L(0)=L(0), и если L(n) L(n), то
L(n+1)=[ L(n) , L(n)] [L(n), L] L(n+1).
Таким образом, нильпотентная алгебра является разрешимой. Обратное не верно: например, двумерная некоммутативная алгебра Ли , определяемая коммутативным соотношением
[X,Y]=X,
разрешима, но не нильпотентна.
Пусть K, N--разрешимые идеалы алгебры Lr. Факторалгебра (K+N)/N изоморфна разрешимой алгебре К/(К N) и, значит, разрешима. Поэтому идеал K + N разрешим как расширение разрешимой алгебры (K+N)/N с помощью разрешимой алгебры N. Отсюда следует, что разрешимый идеал R максимальной размерности в конечной алгебре Ли Lr является единственным и содержит все разрешимые идеалы алгебры Lr. Этот максимальный разрешимый идеал R называется радикалом алгебры Lr.
Алгебра Ли Lr называется полупростой, если ее радикал равен нулю. Заметим, что всякий коммутативный идеал разрешим. С другой стороны, алгебра L, содержащая ненулевой разрешимый идеал К, содержит также ненулевой коммутативный идеал - им является предпоследний элемент последовательности производных: К, К(1),..,К(n-1),К(n)=0. Поэтому алгебра Ли полупроста в том и только том случае, если она не имеет отличных от нуля коммутативных идеалов.
Полупростой будет любая конечномерная алгебра L, распадающаяся в прямую сумму
L=К…N
своих идеалов K,…,N, являющимися простыми алгебрами.