Введение

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

Таким образом, большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

В работе рассматриваются понятия простейших дифференциальных уравнений, а также линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка и систем таких уравнений. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных уравнений.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения.

Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения простейших обыкновенных дифференциальных уравнений , качественное исследование решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения их явного вида.

Цель дипломной работы - изучить понятие линейных дифференциальных уравнений.

В связи с поставленной целью необходимо выполнить следующие задачи:

1) Рассмотреть понятие линейных систем;

2) Изучить линейные дифференциальные уравнения различных порядков, в том числе с аналитическими коэффициентами;

3) Решить предложенные практические задания.