Линейные дифференциальные уравнения

дипломная работа

1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть А - постоянная квадратная матрица порядка n и рассмотрим соответствующую однородную систему

. (4.1)

Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение еtА, и решение, которое при t = ф равно о , имеет вид е(t-ф)Ао . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, о являются векторами произвольной конечной размерности и А - квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = еtА (|t| < ), (4.2)

и решение ц системы (4.1), удовлетворяющее условию

ц(ф) = о (|ф | < , | о | < ),

имеет вид

ц(t) = е(t-ф)Ао (|t| < ). (4.3)

Доказательство. Так как е(tt = еtА еДtА, то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = еtА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = еtspА . Итак, Ф - фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение не обязано быть решением системы , если матрицы А(t) и не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J - каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р - неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

Тогда

(4.4)

и J имеет вид

(4.5)

где J0 - диагональная матрица с элементами л1, л2,…, лq и

(i = 1, …, s). (4.6)

Далее,

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как , то . Таким образом,

(4.9)

где - квадратная матрица порядка ri (n = q + r1 + … + rs). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица еtА системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой еtJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).

Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:

Ш(t) = еtАP = P еtJ. (4.10)

Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р1, …, рn. Столбцы матрицы Ш. Которые мы обозначаем через ш1 , ш 2 , …, ш n , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем

, , …, ,

,

,

,

,

.

Так как АР = PJ, то векторы р1, …, рn удовлетворяют соотношениям

Ар1 = л1р1,…, Арq = лqрq,

Арq+1 = л q+1рq+1,

Арq+2 = рq+1 + л q+1рq+2,

Арn-rs+1 = л q+sр n-rs+1,

Арn-rs+2 = р n-rs+1 q+sр n-rs+2,

Арn = р n-1 q+sр n.

Решения шj выражаются посредством независимых векторов р1, …, рn из предыдущей последовательности уравнений.

Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе

+b(t) , (4.11)

где А - постоянная матрица, дает для решения ц системы (4.11), удовлетворяющего условию ц(ф) = 0, , выражение

.

Решение ц системы (4.11), удовлетворяющее условию ц(ф) = о , где , | о |< , имеет вид

.

Делись добром ;)