1.3 Неоднородные линейные системы

Пусть А - неособая квадратная матрица порядка n из непрерывных функций, определенных на действительном t-интервале I и b - непрерывный вектор на I, не равный тождественно нулю. Система уравнений

+b(t) (ЛН)

называется линейной неоднородной системой порядка n. Если элементы А и b непрерывны и даже измеримы и мажорируются суммируемой функцией на I, то существует единственное решение ц системы (ЛН), для которого

ц(ф) = о ,

где и | о | < . Единственность решения следует из того, что если бы существовало два решения ц₁ и ц₂, то из разность ц = ц₁ - ц₂ была бы решением однородной системы (ЛО) на I при ц(ф) = 0. Но, по теореме единственности для (ЛО), разность ц должна равняться на I нулю тождественно и, следовательно, ц₁ = ц₂.

Если известна фундаментальная матрица Ф системы (ЛО), то легко найти решение системы (ЛН).

Теорема 3.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то функция

(3.1)

есть решение системы (ЛН), удовлетворяющее начальному условию

ц(ф) = 0 ().

Доказательство получается непосредственно при помощи прямой проверки.

Интуитивные соображения, с помощью которых можно получить выражение (3.1), заключаются в следующем6 для каждого постоянного вектора с функция Фс является решением системы (ЛО). Метод состоит в том, что мы рассматриваем с как функцию, определенную на I, и находим, какой должна быть с (если она существует), для того, чтобы функция ц = Фс была решением неоднородной системы (ЛН).

Пусть ц = Фс - решение системы (ЛН). Тогда

= +Ф=АФс + Ф= А ц + Ф= А ц + b,

где последнее равенство следует из (ЛН). Поэтому Ф= b, или

=b.

Последнее уравнение всегда разрешимо, причем если с(ф) = 0, то

 .

Итак, ц определяется по формуле (3.1).

Легко видеть, что в условиях теоремы 3.1 решение системы (ЛН), удовлетворяющее условию ц(ф) = о (и | о | < ), дается в виде

, (3.2)

где - решение системы (ЛО), удовлетворяющее условию

ц_h(ф) = о .

Формула (3.1) (или (3.2)) называется формулой вариации постоянных для системы (ЛН).

Заметим, что формулу (3.1) можно записать в виде

,

где Ш - фундаментальная матрица системы

,

сопряженной системе (ЛО). Другая форма записи формулы (3.1) такова:

,

однако здесь необходимо ограничение .