Линейные дифференциальные уравнения

дипломная работа

2.1 Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Предположим, что n+1 коэффициентов а0, а1, …, аn представляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на действительном t-интервале I, и пусть Ln обозначает формальный дифференциальный оператор

;

это означает, что если функция g имеет n производных на I, то

Далее предположим, что а0(t) 0 для . Тогда, по определению, уравнение

(в подробной записи ()) есть дифференциальное уравнение

;

оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система есть векторное уравнение

(6.1)

где

(6.2)

Так как (6.1) - линейная система с непрерывной на I матрицей коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение ц на I системы (6.1), удовлетворяющий условию

где , |о| < . Таким образом, ц1 - первая компонента - удовлетворяет условиям

…, (6.3)

Так как ц1 - решение уравнения , то это решение удовлетворяет условиям (6.3).

Применим теперь остальные результаты, полученные ранее для линейных систем, к уравнению .

Если ц1, …, цn - n решений уравнения , то матрица

(6.4)

есть матрица-решение для (6.1). Определитель этой матрицы называется вронскианом уравнения , соответствующим решениям ц1, …, цn, и обозначается через W(ц1, …, цn). При фиксированных ц1, …, цn он является функцией t на I и его значение в точке t обозначается W(ц1, …, цn)(t). Из того, что для линейной системы вида (6.1)

,

следует (замечая из (6.2), что spA = - а10)

W(ц1, …, цn)(t) = W(ц1, …, цn)(ф) . (6.5)

Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие того, чтобы n решений ц1, …, цn уравнения на интервале I были линейно независимы, заключается в том, что

W(ц1, …, цn) 0 .

Каждое решение уравнения есть линейная комбинация с комплексными коэффициентами любых n линейно независимых решений.

Доказательство. Если решения ц1, …, цn на I линейно зависимы. То существуют постоянные с1, …, сn, не все равные нулю, такие, что

Отсюда следует тождество

(k = 0, 1, …, n-1),

и поэтому векторы с компонентами (i = 1, 2, …, n) линейно зависимы на I. Наоборот, если векторы линейно зависимы, то тем же свойством обладают решения ц1, …, цn уравнения. Из теоремы 2.2 следует, что необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов заключается в том, что det Ф(t) 0 на I, где Ф - матрица (6.4). Но это требование в точности совпадает с условием W(ц1, …, цn)(t) 0 на I. В силу (6.5), если W(ц1, …, цn)(ф) 0 для некоторого , то W(ц1, …, цn)(t) 0 для любого .

Так как каждый вектор-решение задачи (6.1), (6.2) есть линейная комбинация n линейно независимых векторов-решений, то каждое решение уравнения есть линейная комбинация n линейно независимых решений этого уравнения. Это доказывает теорему.

Ввиду свойства, указанного в теореме 6.1, множество n линейно независимых решений уравнения называется базисом или фундаментальным множеством для уравнения .

Теорема 6.2. Пусть ц1, …, цn - n функций, имеющих на интервале I непрерывные производные порядка n, и пусть W(ц1, …, цn)(t) 0 на I. Тогда существует единственное однородное дифференциальное уравнение порядка n (с коэффициентом при х(n), равным единице), для которого эти функции образуют фундаментальное множество, а именно:

(6.6)

Замечание. Вронскиан W(х, ц1, …, цn) представляет собой определитель матрицы, первая строка которой состоит из элементов х, ц1, …, цn, а последующие строки являются последовательными производными первой строки до порядка n включительно.

Доказательство. Очевидно, что W(цi, ц1, …, цn) = 0 (i = 1, …, n), ибо в этом определителе имеются два одинаковых столбца. Разложение числителя W(х, ц1, …, цn) левой части уравнения (6.6) по элементам первого столбца показывает, что (6.6) есть дифференциальное уравнение порядка n. Коэффициент при х(n) в W(х, ц1, …, цn) равен (-1)n W(ц1, …, цn), т.е. в (6.6) при х(n) равен единице. Так как W(ц1, …, цn) 0, то из теоремы 6.1 следует, что ц1, …, цn образуют для (6.6) фундаментальное множество.

Единственность уравнения (6.6) следует из того, что соответствующие векторы с компонентами определяют матрицу коэффициентов (6.2), соответствующие системе (6.1), однозначно. Так имеется взаимно однозначное соответствие между линейными уравнениями порядка n и линейными системами вида (6.1), (6.2), то доказательство завершено.

Если одно или более из решений уравнения известно, то использование соответствующей системы (6.1) позволяет понизить порядок уравнения. Более прямо достигает цели следующий процесс, который является методом вариации постоянных применительно к уравнению . Пусть и положим х = уц1. Тогда уравнение является для у линейным дифференциальным уравнением порядка n, которое имеет решение у = 1, ибо ц1 есть решение уравнения . Поэтому в новом уравнении коэффициент при у должен обращаться в нуль. Рассматривая это уравнение относительно переменной u = , получим уравнение (n-1)-го порядка. Если ц2 не зависит от ц1 и , то есть решение (n-1)-го порядка для u, которое может быть аналогично сведено к уравнению (n-2)-го порядка, и т.д.

Сопряженные уравнения. С формальным оператором Ln тесно связан другой линейный оператор порядка n, называемый сопряженным для Ln и определяемый следующим образом:

Иначе говоря, если g - функция на I, для которой произведение (k = 0, 1, …, n) имеет n - k производных на I, то

Уравнение

(в подробной записи

),

называемое сопряженным для Lnх = 0 на I, определяется как задача отыскания функции ц (решения), на I, такой, что произведение (k = 0, 1, …, n) имеет n - k производных на I,удовлетворяющей на I уравнению

Если на I и ц - решение уравнения, имеющее n производных на I, то, используя правило дифференцирования произведения, получаем

разделив на , видим, что ц есть решение дифференциального уравнения порядка n рассмотренного выше типа.

Рассмотрим тот специальный случай оператора Lnх когда а0 = 1. Для системы (6.1), (6.2), ассоциированной с уравнением

(6.7)

сопряженная система имеет вид

, (6.8)

где в силу (6.2)

(6.9)

Записывая (6.8) в компонентах, получаем в силу (6.9)

(k = 2, …, n). (6.10)

Таким образом, если ц1, …, цn - решение системы (6.10), для которого и

существуют, то дифференцируя k-е равенство (6.10) k-1 раз и решая относительно, получаем

Поэтому цn удовлетворяет уравнению

которое является сопряженным к (6.7).

Важность оператора обуславливается интересным соотношением, связывающим Ln и и совершенно необходимым при изучении краевых задач.

Теорема 6.3. (Тождество Лагранжа). Предположим, что в Ln на I (k = 0, 1, …, n). Если u, v - произвольные (комплексные) функции на I, имеющие n производных, то

(), (6.11)

где [uv] - форма относительно величин (u, , …, ) и (v, , …, ), задаваемая равенством

(6.12)

Доказательство. Пользуясь правилом дифференциального произведения, имеем для m = 0, 1, …, n

Таким образом, получаем

что доказывает формулу (6.11).

Следствие (Формула Грина). Если ак в Ln и u, v такие же как и в теореме 6.3, то для любых

(6.13)

где [u, v](ti) - значение [u, v] при t = ti.

Доказательство. Следует проинтегрировать тождество (6.11) в пределах от t1 до t2 .

Если ш - известное решение уравнения на I, то в силу (6.11) отыскание решения Lnх = 0 сводится к отысканию функции ц, удовлетворяющей уравнению (n-1)-го порядка

Неоднородное линейное уравнение порядка n. Предположим, что на действительном t-интервале I а0 0, а1, …, аn и b - непрерывные функции, и рассмотрим уравнение

,

которое совпадает с уравнением

Это уравнение (в случае b(t) 0) называется неоднородным линейным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система имеет вид

, (6.14)

где А - матрица (6.2) и - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме последнего, который равен b/а0. Таким образом, соответствующая уравнению Lnх = b(t) система (6.14) есть линейная неоднородная система; существование и единственность решения для системы (6.14) обеспечивает, как обычно, существование и единственность решения для уравнения Lnх = b(t).

Теорема 6.4. Если ц1, …, цn - фундаментальное множество для однородного уравнения

( на I),

то решение ш неоднородного уравнения

Lnх = b(t) ( на I),

удовлетворяющее условию

(, |о| < ),

имеет вид

(6.15)

где - решение уравнения Lnх = 0, для которого , и Wk1, …, цn) -определитель, получаемый из W(ц1, …, цn) в результате замены k-го столбца на (0, …, 0, 1).

Доказательство. В силу (3.1) первая компонента ш = ш1 вектора-решения системы (6.14), для которого = 0, имеет вид

где - элемент, находящийся на пересечении первой строки и n-го столбца матрицы Ф(t)Ф-1(s). Напомним, что на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Ф(t) стоит элемент и что det Ф(t) = W(ц1, …, цn)(t). Далее, на пересечении i-й строки и n-го столбца матрицы Ф-1 стоит элемент

где - алгебраическое дополнение элемента в Ф. Поэтому

где Wk1, …, цn)(s) определен в формуле теоремы. Таким образом, решение ш уравнения Lnх = b(t) , удовлетворяющее условию = 0, имеет вид

и очевидно, что (6.15) дает решение, удовлетворяющее условию , если .

Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Рассмотрим тот случай, когда в Ln все коэффициенты а0 = 1, а1, …, аn - постоянные. В этом случае можно предполагать, что I есть вся числовая ось. Далее, уравнению

(6.16)

соответствует система

(6.17)

где А - постоянная матрица

(6.18)

Можно предполагать, что для (6.16) можно указать фундаментальное множество решений, и точный вид этих функций зависит от характеристического многочлена f(л) = det (лE - A) постоянной матрицы А в (6.18).

Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в (6.18) имеет вид

f(л) = лn + а1 лn-1 +…+ аn. (6.19)

Заметим, что f(л) может быть получено из Ln(х) формальной заменой х(k) на лk.

Доказательство проводится по индукции. Для n = 1 А = - а1; значит det(лE1 - A) = л + а1 и, следовательно, (6.19) верно для n = 1. Предположим, что результат справедлив для n - 1. Разложим определитель

det(лEn - A) =

по элементам первого столбца и заметим, что коэффициент при л есть определитель (n-1)-го порядка, именно det(лEn-1 - A1), где

Поэтому лdet(лEn-1 - A1) = лn + а1 лn-1 +…+ аn--1л. Единственный другой ненулевой элемент в первом столбце есть аn и его алгебраическое дополнение равно 1. Поэтому det(лEn - A) = лn + а1 лn-1 +…+ аn--1л + аn, что и требовалось доказать.

Теорема 6.5 (без доказательства). Пусть л1, …, лn - различные корни характеристического уравнения

f(л) = лn + а1 лn-1 +…+ аn = 0

и пусть кратность корня лi равна mi (i = 1, …, s ). Тогда фундаментальное множество для (6.16) дается n функциями

tkeлi (k = 0, 1,…, mi - 1; i = 1, 2,…, s). (6.20)

Делись добром ;)