Известные результаты, используемые в работе

Теорема 1 (критерий подгруппы). Пусть Н - непустое подмножество группы G. Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h₁, h₂?H h₁?h₂?H;

2) для любого h?H ? h^-1?H.

Теорема 2. Пусть {H_i | i?I} - некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A= является подгруппой группы G.

Теорема 3 (Силова). Пусть , в существует силовская подгруппа.

Лемма 1. Пусть , - силовская -подгруппа в справедливы следующие утверждения:

1) - силовская -подгруппа в и ;

2) - силовская -подгруппа в ;

3) .

Лемма 2. Пусть , - группа, справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) ;

3)

Теорема 4 (Ремак). Если и - нормальные подгруппы , то факторгруппа изоморфна группе, являющейся подпрямым произведением прямого произведения

.

Лемма 3 (Фраттини). Пусть , - силовская подгруппа в

.

Теорема 5 (о соответствии подгрупп). Пусть , - множество всех подгрупп группы , содержащих ; множество всех подгрупп группы , причем и существует биективное отображение.

Теорема 6 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы, т.е. если G - конечная группа, H?G, то ¦G¦¦H¦