Признаки нильпотентных групп

Утверждение 4. Если и , то .

Теорема 1 (Виланд). всякая максимальная подгруппа группы нормальна в ней.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть и . Тогда и по лемме 6

Т.к. , то и .

2. Достаточность.

Пусть и .

Пусть - силовская p-подгруппа из . Допустим, что . Тогда По утверждению 4, , т.е. . Получили противоречие. Поэтому т.е. . Т.о., . ч.т.д.

Теорема 2. .

Доказательство:

1. Необходимость следует из леммы 2.

2. Достаточность.

Пусть , - силовская p-подгруппа в . Тогда - силовская p-подгруппа в .

Т.к., то и по теореме о соответствии .

Т.к. - силовская p-подгруппа в , то по лемме Фраттини получим , т.е. .

Т.о., . ч.т.д.

Теорема 3 (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.

Доказательство:

Пусть - силовская p-подгруппа группы .

Т.к., то по лемме Фраттини , т.е. . Тогда и .

ч.т.д.