18. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл видаявляется функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство.

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргументаи воспользуемся пятымсвойством определенного интегралаи следствием из десятого свойства:где.

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнитьопределение производной функциии перейти к пределу при, то получим. То есть,- это одна из первообразных функцииy = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , гдеС – произвольная постоянная.

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно,. Воспользуемся этим результатом при вычисленииF(b): , то есть. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница.

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид.

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразныхy=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрированияразобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке[1;3], следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Из таблицы неопределенных интеграловвидно, что для функциимножество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для) записывается как. Возьмем первообразную приC = 0: .

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .

Пример.

По формуле Ньютона-Лейбница вычислите определенный интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1;2], поэтому, интегрируема на нем.

Найдем неопределенный интеграл методом подведения под знак дифференциала:. Так мы получили множество всех первообразных функциидля всех действительныхx, следовательно, и для .

Возьмем первообразную при С=0 и применим формулу Ньютона-Лейбница: