14. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а•sint для первого интеграла; х=а•tgt для второго интеграла;для третьего интеграла.

Пример 33.6.  Найти интеграл 

Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда

• 33.4.   Интегралы типа

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е. к интегралам типаЭти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

Пример 33.7.  Найти интеграл

Решение: Так как х²+2х-4=(х+1)²-5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. ПоэтомуПоложим

Тогда

Замечание: Интеграл типа целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.