22. Вычисление длины дуги плоской кривой

1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точкамии(рис. 12).

Возьмем на дуге точкис абсциссамии проведем хорды, длины которых обозначим соответственно. Тогда получим ломанную, вписанную в дугу. Длина ломанной равна

.

Определение. Длиной дугиназывается тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

.

Длина всей дуги , заключенной между точкамии, вычисляется по формуле

.

Пример 16. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четверти окружности, расположенной в 1 четверти.

 Из уравнения окрежности ,.

Тогда .

Длина всей окрежности

Ответ: (лин.ед).