19. Несобственные интегралы первого рода

        Определение 4.1   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел то числоназываетсязначением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл называетсясходящимся (иными словами, интеграл сходится).

Если же предела не существует (например, еслипри), то интегралназываетсярасходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае , величина несобственного интегралаозначает, по определению, площадь бесконечно длинной области, лежащей в координатной плоскости между лучомна оси, графикоми вертикальным отрезком(см. рис.).

Рис.4.1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама областьнеограничена), а расходящиеся (в случае) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когдапри, часто пишут формально:

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её частиправый вертикальный отрезок, проведённый при, отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком(см. рис.).

Рис.4.2.