8. Интегрирование простейших дробей.

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид. Следовательно,

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как , то. Поэтому

Следовательно, 

Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа 

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Найти множество первообразных функции 

Решение.

Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей второго типа 

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей третьего типа 

Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала: 

Поэтому, 

У полученного интеграла преобразуем знаменатель:

Следовательно, 

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид: 

Пример.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

Используем полученную формулу: 

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили: