Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя.

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Рассмотрим автономную систему второго порядка: Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁ /dt и dx₂ /dt зависят только от x₁ и x₂ и не зависят от t.

Обозначим и . Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения задают в параметрической форме кривую на плоскости . Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль, , называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если: 1) существует такое , что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям ; 2) для всякого существует такое , что если и , то при всех . Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если при достаточно малых .

Очевидно, что линейная автономная система имеет единственную точку покоя: x₁(t) = 0, x₂(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l₁ и l₂ матрицы системы. А именно, пусть l₁ и l₂ — собственные значения матрицы A исследуемой системы:

• если l₁ и l₂— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом если l₁ и l₂ — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом

• если l₁ и l₂ — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом

• если l₁ и l₂ — комплексные числа, l_1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром , при Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом, а если Rel>0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом

• если l₁ = l₂ - отличные от нуля действительные числа, то точка покоя — узел специального вида, называемый диакритическим, устойчивым при отрицательных l₁ = l₂ и неустойчивым при положительных l₁ = l₂ если l₁ = 0 и l₂ № 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются точками покоя

• если l₁ = l₂ = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.

23. Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова.

Метод функций Ляпунова (второй метод Ляпунова)

Это совокупность способов решения задач устойчивости, которые не требуют нахождения решений дифференциального уравнения, а сводятся к нахождению некоторых функций от t, x, которые имеют специальные свойства. Метод функций Ляпунова является сейчас основным методом решения задач устойчивости.

Рассмотрим систему

(6.1)

или в векторно-матричной записи

Пусть .

Производная , вычисленная в предположении, что есть решение системы (6.1), называется производной в силу системы (6.1) и обозначается :

Теорема Ляпунова об услойчивости

Пусть система (6.1) имеет нулевую точку покоя и пусть в окрестности а этой точки существует такая функция Ляпунова , что

l) ,

2) ,

3) (или = 0) при .

Тогда точка покоя системы (6.1) устойчива по Ляпунову.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Пусть система (6.1) имеет нулевую точку покоя и пусть в окрестности а этой точки существует такая функция Ляпунова , что

l) ,

2) ,

3) , где

Тогда точка покоя системы (6.1) асимптотически устойчива.

Теорема Ляпунова о неустойчивости

Пусть система (6.1) имеет нулевую точку покоя и пусть в окрестности о этой точки существует такая функция Ляпунова , что

l) ,

2)

3) (то есть функция у σ может принимать значения того же знака, что и ).

Тогда точка покоя системы (6.1) неустойчива.

24. Устойчивость по первому (линейному ) приближению.

Устойчивость по первому приближению

Рассмотрим нелинейную автономную систему

(6.1)

или в векторно-матричной записи

и её точку покоя .

Разложим правые части системы по формуле Тейлора в окрестности точки покоя (считая их дважды непрерывно дифференцируемыми):

,

где - нелинейные члены разложения,

при

Тогда исходная система (6.1) примет вид

где А - постоянная матрица

Укороченная система уравнений (без нелинейных членов в разложении правой части)

(6.5)

называется системой первого (линейного) приближения для системы (6.1) в окрестности точки покоя . Это линейная однородная система с постоянными коэффициентами. Её точке покоя соответствует точка покоя системы (6.1).

Теорема Ляпунова (Об устойчивости и неустойчивости по первому приближению)

Пусть дана система (6.1) и пусть - точка покоя этой системы. Если все собственные значения матрицы А системы первого приближения (6.9) имеют отрицательные действительные части, то точка покоя является асимптотически устойчивой.

Если же действительная часть хотя бы одного собственного значения матрицы А положительна, то точка покоя неустойчива.

Замечание 1

Эта теорема решает вопрос устойчивости точки покоя системы (6.1) путем её линеаризации только в определенных в теореме случаях (некритические случаи). В случаях, когда действительные части всех собственных значений матрицы А неположительны (критические случаи), теорема не применима, а вместе с нею и метод исследования по первому приближению).