Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

Уравнение вида

f1(x)dx=f2(y)dy,

называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Умножая обе части уравнения на , получаем уравнение

К разделяющимся переменным сводится уравнение вида:

Решение дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными

Делаем подстановку:

z = ax + by + c

где z - функция от х. Дифференцируем по x:

z' = a(x)′ + by′ + (c)′ = a·1 + by′ + 0 = a + by′

Подставляем:

Или:

Разделяем переменные - умножаем на dx, делим на (a + b·f(z)). При a + b·f(z) ≠ 0 получаем:

Интегрируем:

В заключение следует рассмотреть корни уравнения

a + b·f(z) = 0 ,

которые могут давать решения, не включенные в общий интеграл

5. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Понятие дифференциального уравнения. Порядок ду. Решение ду. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
   • Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
   • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
   • Уравнения в полных дифференциалах. Понятие интегрирующего множителя. Уравнения в полных дифференциалах
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения, не содержащие явно одну из переменных.
   • Дифференциальное уравнение Лагранжа
   • Дифференциальное уравнение Клеро
   • Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование лоду -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами.
   • Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
   • Понятие системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Общее и частное решение системы ду.
   • Интегрирование нормальных систем ду.
   • Устойчивость решения дифференциального уравнения первого порядка по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость решения дифференциального уравнения первого порядка.
   • Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя.

   Yandex.RTB R-A-252273-4