Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

где и – неизвестные функции от , причём считаем, что функция отлична от . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных и .

Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр . Тогда уравнение запишется:

Замечая, что продифференцируем обе части этого уравнения по . Пишем:

Преобразуем его в вид

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию . В самом деле, при любом постоянном значении , производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению , то есть, , является линейной функцией от , поскольку производная , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение , то есть

.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде

и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение суть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём

Исключая параметр из уравнений и найдём общий интеграл уравнения в виде