Уравнения в полных дифференциалах. Понятие интегрирующего множителя. Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции , т.е. определяются уравнением при всевозможных значениях произвольной постоянной .

Если в области выполнено условие , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения как неявная функция . Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения (1).

Если рассматриваемая область односвязна, а производные также непрерывны в , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция в называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, то есть

для некоторой функции

. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

(область по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде или , но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1)

(2)

(3)

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*)

Подставим в (3).2:

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

9. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Понятие дифференциального уравнения. Порядок ду. Решение ду. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
   • Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
   • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
   • Уравнения в полных дифференциалах. Понятие интегрирующего множителя. Уравнения в полных дифференциалах
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения, не содержащие явно одну из переменных.
   • Дифференциальное уравнение Лагранжа
   • Дифференциальное уравнение Клеро
   • Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование лоду -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами.
   • Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
   • Понятие системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Общее и частное решение системы ду.
   • Интегрирование нормальных систем ду.
   • Устойчивость решения дифференциального уравнения первого порядка по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость решения дифференциального уравнения первого порядка.
   • Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя.

   Yandex.RTB R-A-252273-4