Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении

соответствующего однородного уравнения

на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

16. Интегрирование ЛНДУ -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

где P_m1(x) и Q_m2(x) - многочлены степеней, соответственно, m₁ и m₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m₁, m₂). Тогда частное решение надо искать в виде , где R_m(x) и S_m(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y_чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m(x) и S_m(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y_чн(x). Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего. I. Если f(x) = P_m(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде y_чн(x)= R_m(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде y_чн(x)= x^r R_m(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Это правило следует из общего, если записать f(x) = P_m(x) в виде f(x) = e^{0 x} [P_m(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s₀ = 0 + 0i, m₁ = m, m₂ = 0, max(m₁, m₂) = m, поэтому y_чн(x)= x^r e^{0 x} [R_m(x) cos 0x + S_m(x) sin 0x] = x^r R_m(x) .