7. Работа над задачей после ее решения

– Сравните два способа решения задачи. (В первом на одно действие меньше, это решение короче.)

– Оба способа решения основаны на нашей «догадке» о том, что время буксира на всем пути от А до Б в 3 раза больше, чем парохода.

– Как мы это узнали? (Сравнили скорости буксира и парохода: скорость буксира в 3 раза меньше, значит время – в 3 раза больше, а расстояние одинаковое.)

– Может быть кто-то решал задачу совсем по-другому. (Нет, только начали решать и «запутались».)

– Если, например, скорость парохода могла бы равняться не 24 км/ч, а 25 км/ч, то смогли бы мы решить задачу первым способом? (Нет, так как 25 не делится без остатка на 8.)

– Да, мы не смогли бы узнать во сколько раз скорость парохода больше скорости буксира и не смогли бы решить задачу. Мы решили ее с удобными, «хорошими» числами. Попробуем найти совсем другой способ решения, не зависящий от того, сможем ли разделить скорость парохода на скорость буксира.

– Некоторые начали рассуждать верно, и записали несколько действий. Объясните каждое равенство, а я запишу пояснения.

8  8 = 64 (км) – прошел буксир за 8 часов, пока пароход стоял на пристани А.

24 – 8 = 16 (км/ч) – по 16 км «нагонял» пароход за каждый час.

64 : 16 = 4 (ч) – за 4 ч. пароход догонит буксир.

– Покажем это время на модели – чертеже.

Рис. 34

– Ту точку, в которой пароход догонит буксир, мы обозначили на чертеже буквой Д. Пароход за 4 часа переместился из т. А в т. Д, а буксир – из т. В в т. Д.

– Как дальше относительно друг друга будут двигаться пароход и катер? (Пароход обгонит буксир, будет от него удаляться и придет в Б на 16 часов раньше.)

– Достаточно ли у нас данных, чтобы найти время буксира? (Нет, мы не знаем, сколько часов он шел от т. Д до т. О.)

– Может быть, время парохода сможем узнать? (Нет, не знаем, сколько часов пароход шел от т. Д до т. Б.)

– Нам нужно найти два различных числа или речь идет об одном и том же промежутке времени? Вдумайтесь: в т. Д пароход догнал буксир, т.е. в т. Д пароход и буксир прибыли одновременно, а затем, пока буксир дошел от т. Д до т. О, пароход успел дойти до т. Б. (Это один и тот же промежуток времени. Движение было одновременным: пока буксир шел от т. Д до т. О, пароход – от т. Д до т. Б)

– А как потом происходило движение? (Буксир шел от т. О до т. Б еще 16 часов.)

– С какой скоростью он плыл? (8 км/ч.)

– Что узнаем, если по 8 км возьмем 16 раз? (Скорость катера умножим на время 16 часов и найдем путь от т. О до т. Б.)

– Запишу на модели задачи, что расстояние ОБ равно: 8  16 – 128 км.

– Почему буксиру пришлось плыть одному еще 16 часов, в то время как пароход стоял в порту Б? (Он плыл медленнее, отставал от парохода за каждый час на 16 км.)

– На сколько всего километров отстал буксир от парохода? (На 128 км. Пароход уже вошел в порт Б, а буксир в это время в т. О, на расстоянии 128 км от порта Б.)

– За какое время буксир отстал на 128 км? (Пока он шел от т. Д до т. О, пароход ушел вперед на 128 км.)

– Что узнаем, разделив 128 км по 16 км? (Время, за которое буксир отстал на 128 км.)

– Это и есть движение буксира по пути …? (По пути ДО.)

– Итак, на движение от т. Д до т. О буксиру потребовалось 128 деленное по 16, – 8 часов? (Пароход за 8 часов прошел от т. Д до т. Б.)

– Сможем ли теперь найти время буксира и время парохода на всем пути? (Сможем.)

– Проверим себя по модели. Отмечены ли найденные значения величины время на участках пути от А до Б? (Нужно записать 8 ч буксиру на отрезке ДО и пароходу на – ДБ.)

Рис. 35

– Вычислите время парохода и время буксира на пути от пристани А до пристани Б. Проверьте себя по первоначальному решению задачи.

4 + 8 = 12 (ч.) – время парохода на пути АБ.

8 + 4 + 8 + 16 = 36 (ч.) – время буксира на пути АБ.

– Зачем мы нашли время? (Чтобы найти расстояние АБ.)

– Найдите это расстояние двумя способами и сравните.

24  12 = 288 (км) – расстояние между пристанями А и Б.

8  36 = 288 (км).

– Ответили на вопрос задачи? (Ответили.)

– Теперь закрыв тетради нужно полностью записать на листочках решение задачи третьим, а возможно и четвертым способами (по действиям). Помогать в записи решения вам будет чертеж – модель задачи. Представьте, что вы начинаете движение из т. А, и, проходя все участки пути АВ, ВД, ДО, ОБ прибываете в т. Б.

Цель этого этапа работы над задачей – упорядочить, закрепить решение, проверить его понимание учениками, оказать индивидуальную помощь при необходимости. Преследуется и цель формирования у детей такого учебного действия, как умения работать с моделью, проверять себя, реализовывать намеченный план.

Запись решения с пояснениями учитель предварительно делает на доске, закрывает его шторкой и открывает для проверки самостоятельной работы учеников.

1) 8  8 = 64 (км) – прошел буксир за 8 часов; на 64 км «отстал» пароход от буксира;

2) 24 – 8 = 16 (км/ч) – на 16 км/ч скорость парохода больше, чем скорость буксира; на 16 км приближается пароход к катеру за каждый час;

3) 64 : 16 = 4 (ч) – пароход догнал буксир на пути АД; за 4 часа буксир прошел путь ВД;

4) 8  16 = 128 (км) – на 128 км буксир отстал от парохода (по 8 км пришлось еще плыть 16 ч);

5) 128 : 16 = 8 (ч) – время парохода на ДБ или буксира на ДО (пароход удалялся по 16 км за 1 час и удалился всего на 128 км);

6) 4 + 8 = 12 (ч) – время парохода на пути АБ;

7) 24  12 = 288 (км) – расстояние между пристанями А и Б.

В четвертом способе решения задачи другими будут только два последних действия: сначала вычисляется время буксира на весь путь, а затем по его скорости и времени – путь АБ.

– Этот третий способ решения данной задачи в семь действий не является рациональным, ведь сначала мы решили задачу в четыре действия. Зачем же тогда так долго мы вели поиск решения задачи нерациональным способом? (Стало понятно, как двигались пароход и буксир, как пароход сначала догнал, а потом обогнал буксир и пришел в Б раньше на 16 часов. Решить в 4 действия можно только с удобными числами. Мы подумали, а, если 24 не делилось бы на 8, то, как бы мы тогда решали задачу?)

– Значит, решая задачу для общего случая, вы научились чему-то новому. Полезным может быть и поиск нерационального решения. (Обсудим еще один – «мой» способ решения задачи. Я буду записывать только выполняемые действия, а вам нужно объяснить их смысл и записать решение с пояснениями в тетрадь.

В результате коллективного обсуждения в тетрадях учеников было записано следующее:

1) 8 + 16 = 24 (ч) – на 24 ч пароход затратил меньше, чем буксир, а буксир – больше.

2) 8  24 = 192 (км) – расстояние, пройденное буксиром за 24 ч. или на 192 км пароход «обогнал» буксир.

3) 24 – 8 = 16 (км/ч) – на 16 км пароход приближался к буксиру, а потом обгонял его за 1 ч.

4) 192 : 16 = 12 (ч) – был в пути пароход.

5) 24  12 = 288 (км) – расстояние между пристанями А и Б.

Данную задачу можно решить и алгебраическим методом, составив по тексту уравнение. Пусть х ч – время, затраченное пароходом на весь путь между пристанями от А до Б, тогда (х + 8 + 16) ч – время буксира на этот путь. Выразим расстояние между пристанями А и Б двумя способами через скорость и время. Получим уравнение: 24  х = 8  (х + 8 + 16), которое выходит за пределы базисных знаний за начальную школу, хотя бы потому, что неизвестное содержится в обеих частях уравнения. Такое уравнение смогут решить ученики 4-го класса, изучающие математику по курсу И.И. Аргинской, знакомые с решением уравнений на основе свойств равенств:

24  х = 8  (х + 8 + 16) – разделим обе части равенства на 8.

3  х = х + 8 + 16 – найдем значение суммы.

3  х = х + 24 – из обеих частей равенства вычтем х.

3  х – х = 24 (Рассуждают: «Три х без х – два х», – по смыслу вычитания.)

2  х = 24 – разделим обе части равенства на 2.

х = 12 – за 12 ч. пароход пройдет весь путь.

24  12 = 288 (км) – расстояние от А до Б.

Итак, на примере задачи из учебника математики И.И. Аргинской показана поэтапная организация работы учащихся по поиску нескольких (шести) способов решения задачи с применением геометрического, арифметического и алгебраического методов:

• подготовка на простых задачах к решению составной (актуализируются связи величин скорость, время, расстояние и выявляется обратная пропорциональная зависимость скорости и времени при постоянном расстоянии);

• ознакомление с текстом задачи и его анализ, сопровождающиеся составлением геометрической модели текста – схемой;

• работа с моделью задачи для осмысления её условия и вопроса (модель уточняется, дополняется);

• поиск пути решения задачи (преобразуется модель с учетом обратной пропорциональной зависимости скорости и времени);

• составление плана и решение задачи (обсуждение двух способов решения арифметическим методом на основе геометрической модели);

• запись решения и проверка (записано 2 способа решения, что позволяет, сравнив результат – проверить);

• работа над задачей после её решения (обсуждается еще 2 способа арифметического решения по детально разработанной модели и предложенный учителем 5-й способ, составляется уравнение и задача решается 6-м способом – алгебраическим методом).

Применение рекомендуемых методических приемов организации деятельности учащихся по поиску решения несвойственных традиционному начальному курсу математики задач будет полезным как для учеников (формируется умение применять знания в новых условиях, моделировать, по модели искать решение и проверять себя), так и для учителя (повышение его методической грамотности, стимулирование творческого подхода к организации работы младших школьников и над другими задачами курса математики).

Рассмотрение с учащимися 4-го класса представленных в данном параграфе шести задач на движение в одном направлении по рекомендуемой выше методике позволит расширить и углубить знания учащихся о взаимосвязи величин скорость, время и расстояние. Тем самым осуществляется подготовка младших школьников к решению таких задач при изучении математики в 5-м и последующих классах. Этой работе можно посвятить факультативные занятия или несколько уроков в конце учебного года, соединяя итоговое повторение изученных задач по программе начальной школы с перспективной подготовкой.

70