§ 4. Приемы организации работы младших школьников над задачами нового вида

Методические приемы организации активной познавательной деятельности учащихся при решении задач покажем на примере такого вида задачи, который в традиционной начальной школе не рассматривают. Это задачи «на движение двух тел друг за другом». С задачами такого вида ученики впервые встречаются лишь в 5-м классе. К этому времени у них складывается стереотипный подход к задачам, связанным с величиной «скорость движения», так как в 4-м классе, обучаясь по учебникам М.И. Моро и др., они решали в основном задачи двух типов: на встречное одновременное движение или на одновременное движение из одной точки в противоположных направлениях. Включенные в учебник 5-го класса задачи на движение «друг за другом», не содержащие ставших привычными для выпускников начальных школы ситуаций: «вышли одновременно навстречу друг другу и встретились» или «вышли одновременно из одного и того же пункта и пошли в противоположные стороны», вызывают у пятиклассников большие трудности. Ученики затрудняются в понимании особенностей такого движения: почему «один автомобиль может догнать и обогнать другой», в каком случае «лиса, которая гонится за зайцем, не сможет догнать его» и т.п.

Считаем необходимым для подготовки младших школьников к обучению в 5-м классе и предупреждения трудностей в осмыслении нового вида задач на движение, которые нужно уметь им решать, будучи пятиклассниками, расширить круг привычных для традиционного начального обучения задач на движение новыми. С этой целью можно взять задачи, которые отличают от традиционных два существенных признака:

– движение не является одновременным (кто-то выходит раньше);

– движение происходит в одном направлении из одной точки или разных точек.

Предлагаемая ниже пропедевтическая работа с задачами доступна пониманию младших школьников. Доказательством этому служит то, что задачи на движение «друг за другом» изучаются в альтернативных действующему начальных курсах математики Н.Б. Истоминой, И.И. Аргинской и др.

При работе над указанного вида задачами дети не сразу могут осмыслить характерные особенности движения «вдогонку», определяющие путь решения задачи. Следует обсудить варианты соотношения скоростей движущихся друг за другом тел в четырех случаях:

– движение начинается одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении;

– движение начинается одновременно из разных пунктов в одном направлении;

– движение начинается в разное время (указывается, что один выходит раньше или позже другого) из одного пункта в одном направлении;

– движение начинается в разное время из разных пунктов, но в одном направлении.

Ниже будет подробно рассмотрена именно такая задача, а здесь остановимся на подготовительной работе к ней, на анализе различных жизненных ситуаций, наблюдаемых при движении в одном направлении. Сюжет возьмем наиболее понятный детям, например, дети идут из школы домой или, наоборот, из дома в школу.

Задача 1. Ваня и Лена живут в одном доме. Они выходят одновременно из школы и идут домой по одной дороге, нигде не задерживаясь. Кто из них придет домой раньше?

При анализе предложенной ситуации выявляется три варианта ответа в зависимости от соотношения скоростей движения Вани и Лены. Соответственно этому строятся три модели жизненной ситуации и формулируются три ответа.

Рис. 21

Полезно обсудить смысл такой величины, как разность скоростей Вани и Лены.

Пусть Ваня идет со скоростью 40 м/мин, а Лена – 56 м/мин. Покажите на чертеже величину, равную разности скоростей Вани и Лены, объясните, каков ее смысл.

Ученики выделяют отрезок, показывающий разность скоростей, и вычисляют значение этой величины:

56 – 40 = 16 (м/мин).

Хотя и не сразу, но в ходе обсуждения дети осмысливают и объясняют, что за каждую минуту Лена уходит вперед на 16 м. При условии, что расстояние от школы до дома 280 м, можно составить задачу на нахождение времени. Ученикам предлагается выбрать из данных вопросов наиболее интересный и ответить на него.

1. За сколько минут Лена дойдет от школы до дома?

2. Сколько времени Ваня идет от школы до дома?

3. На сколько минут Лена придет к дому раньше Вани?

4. На каком расстоянии от дома будет Ваня, когда Лена подойдет к дому?

5. Сколько времени затратят дети, если они будут идти домой вместе?

Предложения учеников:

 На первый и второй вопросы легко ответить, для этого нужно расстояние 280 м разделить на скорость 56 м/мин, или 40 м/мин. Получится время Лены 5  минут, а Вани  7 минут.

 Теперь можно ответить и на следующий вопрос, Лена подойдет к дому на 2 минуты раньше, чем Ваня.

 «Проиграем» это на модели. Сделаем чертеж и по нему покажем как двигались дети.

Работа с моделью способствует осмыслению особенностей движения в одном направлении: Лена с каждой минутой удаляется от Вани на 16 м, а Ваня отстает от Лены на столько же. Итак: за первую минуту он отстает на 16 м, за вторую минуту  на 32 м (16  2), за третью  на 48 м (16  3), за четвертую  на 64 м (16  4), за пятую  на 80 м (16  5). По истечении пятой минуты Лена подойдет к дому, а Ваня будет от него на расстоянии 80 м (точка Н).

 На какой же вопрос ответом будет число 80 м? (На четвертый вопрос.)

 Мы ответили на него, рассуждая по чертежу. Теперь нужно записать решение задачи с этим вопросом по действиям. Я начала решать тремя способами. Права ли я? Если да, то вам нужно закончить решение и написать пояснения к каждому действию.

Сначала ученики работают самостоятельно, а затем фронтально обсуждается результат самостоятельного «исследования» и оформляется два выбранных способа решения.

Первый способ.

1) 56 – 40 = 16 (м/мин)  на 16 м Ваня отстает от Лены за каждую минуту.

2) 280 : 56 = 5 (мин)  идет от школы до дома Лена.

3) 16  5 = 80 (м)  останется пройти Ване до дома, когда Лена подойдет к нему.

Второй способ.

1) 280 : 56 = 5 (мин)  идет от школы до дома Лена.

2) 280 : 40 = 7 (мин)  идет от школы до дома Ваня.

3) 7 – 5 = 2 (мин)  на 2 минуты Ваня идет дольше.

4) 40  2 = 80 (м)  осталось пройти Ване за 2 минуты.

По третьему способу дети не вышли на решение. А, обсуждая четвертый вопрос, выяснили, что не могут дать на него определенный ответ. Если Ваня с Леной будут идти со скоростью Лены, то дойдут за 5 минут, если со скоростью Вани, то – за 7 минут. Если скорость будет какой-то другой, то и время изменится.

Таким образом, анализ предложенной детям жизненной ситуации на основе ее модели позволяет ученикам понять особенности одновременного движения из одной точки друг за другом, составить задачу и найти разные способы ее решения.

Интересна ученикам и другая ситуация, ознакомление с которой будет способствовать подготовке младших школьников к решению более сложных задач в 5-м классе. Рассмотрим ту же жизненную ситуацию, предварительно усложнив ее.

Задача 2. Катя и Сережа хотя и живут в разных домах, но идут в школу по одной дороге. Кто из детей придет в школу раньше, если они выйдут из своих домов в одно и то же время?

В беседе выясняется, что для ответа на вопрос нужно знать, кто из детей живет дальше от школы и кто из них идет в школу быстрее. Пусть Сережа живет дальше от школы, тогда в зависимости от скоростей движения школьников возможны три варианта решения, которые хорошо представить на модели.

Рис. 23

Третья ситуация требует подробного рассмотрения. В этом случае ответ на вопрос: «Кто из детей раньше дойдет до школы?» – зависит от соотношения скоростей Сережи и Кати, от расстояния между их домами (СК), а также от соотношения между разностью скоростей детей и расстоянием СК, между скоростью Сережи и расстоянием СШ, между скоростью Кати и расстоянием КШ. От перечисленных условий зависит то, успеет ли Катя дойти до школы раньше, чем Сережа догонит ее, или успеет ли Сережа догнать Катю раньше, чем она войдет в школу. Задача усложнится при условии, что дети выходят ни в одно и то же время. Для подтверждения сказанного введем числовые значения величин. Получим следующую задачу.

Задача 3. Расстояние между домами Сережи и Кати 150 м. Дети одновременно выходят из своих домов. Они идут в школу по одной и той же дороге, причем, Сережа – со скоростью 65 м/мин, а Катя – 50 м/мин. На каком расстоянии от дома Кати должна находиться школа, чтобы дети подошли к ней одновременно?

Целесообразно сначала решить задачу графически (практическим способом) по модели-чертежу, а затем только аналитически (по действиям). Строим чертеж. По нему моделируем процесс движения детей от домов к школе по минутам. Это помогает ученикам понять особенности движения «друг за другом» (в одном направлении) и найти аналитический способ решения.

Рис. 24

По чертежу ученики убеждаются в том, что при данных числовых значениях скоростей (65 м/мин, 50 м/мин) и расстояния  150 м Сережа и Катя подойдут к школе одновременно, через 10 минут после выхода из своих домов (вышли тоже одновременно). Теперь нетрудно найти искомое расстояние от школы до дома Кати по скорости и времени:

50 · 10 = 500 (м) – пройдет до школы Катя.

Можно решить и другим способом:

65 · 10 – 150 = 500 (м).

Для подведения учеников к нахождению времени 10 минут аналитически, вычислениями полезно предложить им ответить на такие вопросы:

– Какое расстояние было между Сережей и Катей, когда они вышли из своих домов?

– Как изменится расстояние между ними через 1 минуту? 2 минуты? 3 минуты?

– Почему расстояние между детьми уменьшается?

– Что означает разность 65 – 50? (На 15 м/мин скорость у Сережи больше, чем у Кати; на 15 м Сережа приближается к Кате за каждую минуту; на 15 м уменьшается расстояние между Сережей и Катей за каждую минуту.)

– Что означает данное 150 м? (Расстояние, которое нужно «наверстать» Сереже, чтобы догнать Катю, лишнее расстояние, которое нужно пройти Сереже; на 150 м Сережин дом дальше от школы, чем Катин.)

– По чертежу мы нашли время 10 мин. Объясните роль числа 150 м в задаче, используя найденное число 10 минут. (Если бы не было дано число 150 м, то дома Сережи и Кати могли бы стоять рядом, тогда Сережа, выйдя из дома, сразу бы обогнал Катю и пришел бы в школу первым. Из–за того, что дом Сережи на 150 м дальше от школы, ему приходится все время до школы – 10 минут – обгонять Катю.)

– Какая связь между числами 150 м, 15 м/мин. и 10 мин.? (150 разделим на 15, получим 10 минут.)

– Каков смысл такого деления? (Сереже надо пройти лишних 150 м, каждую минуту он проходит по 15 м, 150 м разделим по 15 м за 1 минуту, получим, что 10 минут Сережа будет догонять Катю.)

– Попробуйте самостоятельно записать решение задачи. Докажите, что через 10 минут и Сережа, и Катя подойдут к школе вместе. К каждому действию дайте пояснения.

К доске выходит тот ученик, который самостоятельно решил задачу и записывает решение.

1) 65 – 50 = 15 (м/мин) – на 15 м приближается Сережа к Кате за 1мин.

2) 150 : 15 = 10 (мин) – нужно Сереже, чтобы догнать Катю.

3) 50 · 10 = 500 (м) – пройдет за это время Катя от дома до школы.

Или:

3) 65 · 10 = 650 (м) – пройдет до школы Сережа.

4) 650 – 150 = 500 (м) – расстояние от дома Кати до школы.

Ответ: Если расстояние от дома Кати до школы 500м, то дети одновременно подойдут к школе.

– Итак, через 10 минут дети окажутся в одной точке Д (догонит) на расстоянии 500 м от дома Кати или 650 м от дома Сережи (на 150 м больше).

– Как изменить это расстояние, чтобы:

а) Катя успела дойти до школы раньше Сережи;

б) Сережа успел обогнать Катю и прийти в школу раньше?

Поиск ответа на данные вопросы – это и работа над решенной задачей 3, и подготовка к самостоятельному решению задач 4 и 5. Ученики находят ответы на основе модели задачи 3 и ее решения.

Рис. 25

Если расстояние от дома Кати до школы меньше, чем 500 м, то Катя успеет дойти до школы раньше, чем Сережа ее догонит.

Рис. 26

Если расстояние от дома Кати до школы больше, чем 500 м, то Сережа, догонит Катю в точке Д (на расстоянии 500 м от ее дома). Затем на пути ДШ Сережа будет удаляться от нее (у него ведь скорость больше) за каждую минуту на 15 м. Сережа обгонит Катю и придет в школу раньше.

Теперь нужно дать ученикам возможность применить найденный способ решения задачи в измененных условиях. Изменение числовых данных создает условия для рассуждения учеников по аналогии, сопоставлению и противопоставлению, применению осмысленных ими особенностей задач на движение в одном направлении в новых условиях.

– По этому же сюжету составьте две задачи с новыми значениями величин: 60 м/мин, 50 м/мин, 80 м, и двум вариантам расстояния от дома Кати до школы: 550 м и 250 м. Постройте модели к условиям задач с этими данными:

Рис. 27

– Сравните модели к условиям задач 4 и 5 с задачей 3 и составьте тексты этих задач. Подумайте, на какие вопросы можно ответить по данным задач 4 и 5.

В результате сравнения ученики приходят к выводам.

– Условия задач 4 и 5 могут быть такими же, как и задачи 3, только нужно изменить и дополнить данные числа.

– Вопрос задачи 3 не подходит. Его нужно переформулировать. Например, кто придет в школу раньше?

– В задачах 4 и 5 расстояние КШ различно. Вероятно, что ответ на вопрос: «Кто придет раньше в школу?» – будет различным.

Составляются условия задач 4 и 5, формулируются вопросы. Запись на доске над моделями соответствующих задач.

1. Догонит ли Сережа Катю на пути до школы?

2. Если догонит, то, на каком расстоянии от школы?

3. Кто придет в школу раньше и на сколько минут?

После проведенной подготовительной работы следует предложить детям решить задачи самостоятельно, а при затруднениях обратиться к соседу по парте или учителю. Тем самым учитель проверит, в какой мере тот или иной ученик ориентируется в данной жизненной ситуации, сможет ли он, рассуждая по аналогии, выполнить хотя бы 2–3 действия, определить, что затруднит его. Для учеников создается возможность проверить себя и найти самостоятельно решение новой задачи.

Во фронтальной работе, подытоживающей самостоятельную, завершается решение задачи. На доске записывается начало решения, которое смогли выполнить ученики, и вносится дополнение на модель.

1) 60 – 50 = 10 (м/мин) – на 20 м приближается Сережа к Кате за каждую минуту.

2) 80 : 10 = 8 (мин) – нужно Сереже, чтобы догнать Катю.

3) 50  8 = 400 (м) – на таком расстоянии от дома Кати Сережа ее догонит.

Рассуждая по чертежу, можно ответить на первый вопрос:

– В задаче 4 КШ  КД (550 м  400 м), значит, Сережа обгонит Катю и придет в школу первым;

– В задаче 5 КШ  КД (250 м  400 м), значит, Сережа не успеет догнать Катю, она придет раньше, чем Сережа.

Получен частично ответ и на третий вопрос задач 4 и 5:

Задача 4. Сережа подойдет к школе раньше, чем Катя. Им осталось пройти от точки Д одно и тоже расстояние ДШ – 150 м. Сережа идет быстрее. Он придет первым.

Задача 5. Катя придет в школу раньше, чем Сережа, так как он не успел ее догнать. Остается вычислить, на сколько минут или секунд раньше пришел один из детей.

– Продолжим решение задачи 4. До точки Д Катя и Сережа затратили одинаковое время, значит, осталось найти и сравнить время на пути ДШ.

4) 500 – 400 = 150 (м) – расстояние ДШ.

5) 150 : 50 = 3 (мин) – потратила Катя на путь ДШ.

6) 150 : 60 = 2 (мин) и останется Сереже пройти еще 30 м.

– Как определить время, за которое Сережа пройдет 30 м?

– На 30 м потребуется Сереже полминуты или 30 с, так как на 60 м – 1 минута.

– Если Сережа за 1 минуту, равную 60 секундам, проходит 60 метров, то 1 метр он проходит за 1 секунду, а 30 метров – за 30 секунд.

– Итак, время Сережи на пути в 150 м равно 2 мин 30 с. Насколько раньше Кати он пришел в школу? (3 мин минус 2 мин 30 с – на 30 с раньше.)

– Ответ на вопрос 3 получен. Сколько действий выполнили для этого? (Семь действий.)

– Задачу 4 с вопросом: «Кто придет раньше в школу и на сколько?» – можно решить рациональнее, выполнив 4 действия. О какой величине спрашивается? Как ее находят? (О времени. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.)

– Помните, что сравнить нужно время, затраченное на путь от дома до школы, и решите задачу четырьмя действиями.

Из предложений учеников после самостоятельной работы составляется решение:

1) 550 : 50 = 11 (мин) – идет Катя от дома до школы.

2) 550 + 80 = 630 (м) – расстояние от дома Сережи до школы.

3) 630 : 60 = 10 мин 30 с – время Сережи.

4) 11 мин – 10 мин 30 с = 30 с – на столько раньше придет Сережа.

Обобщая работу над задачей 4, нужно сравнить два способа получения ответа на вопрос 3 и обсудить, какой из них подходит для ответа на такой же вопрос в задаче 5. Уточняется: первый способ не применим, не только потому, что он «длинный», но и потому, что от дома Кати до школы меньше, чем 400 м, поэтому Сережа не успевает ее догнать. Ученики решают задачу 5, вычисляя время, затраченное Катей и Сережей на весь путь от дома до школы.

1) 250 : 50 = 5 (мин) – время, затраченное Катей от дома до школы.

2) 250 + 80 = 330 (м) – расстояние от дома Сережи до школы.

3) 330 : 60 = 5 мин 30 с – за это время дойдет до школы Сережа.

4) 5 мин 30 с – 5 мин = на 30 с Катя придет в школу раньше, чем Сережа.

Такая подборка задач от первой до пятой позволяет постепенно выяснять особенности задач на движение в одном направлении, закреплять найденный способ решения предыдущей задачи, применяя его в измененных условиях при решении следующей. Создаются условия организации самостоятельной работы учеников по моделированию и решению задач, переходу от практического способа решения задачи по модели к аналитическому.

Внесем еще одно усложнение в задачу на «движение тел в одном направлении друг за другом»: движение тел начинается и заканчивается в разное время. Для примера возьмем задачу из учебника математики для 3-го класса И.И. Аргинской. Опишем один из вариантов рекомендуемой методики организации деятельности учащихся по поиску пути решения такой задачи в частном (с «хорошими данными числами») и в общем случаях.

Задача 6 (№ 438, Аргинская И.И. Математика 3 класс, М., 1996, с. 103).

От пристани А к пристани Б отправился пароход со скоростью 24 км/ч, а за 8 часов до него в том же направлении вышел буксир с баржами со скоростью 8 км/ч и прибыл в Б на 16 позже парохода. Найди расстояние между пристанями.